前全ての仮定を要する数学的帰納法である。今までの全てを仮定するこの数学的帰納法を、過去の人生全てと考え、「人生帰納法」と呼ぶ人もいる。

course-values-recursion

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正の項からなる数列\suuretu{a_n}が,\ 全ての自然数nに対して次の等式を満た$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$すとき,\ 一般項a_nを求めよ.$ \\[1zh]  以上より,\ $\textcolor{red}{a_n=n}\ \cdots\cdots\maru1\ と予想できる.\ \maru1を数学的帰納法で証明する.$ \\\\\\  $[1]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=1}\ のとき 上と同様にして,\ \maru1が成立することが示される.$ \\\\\\  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n\leqq k}\ のとき \textcolor{magenta}{\maru1が成立すると仮定}する \phantom{ $[1]$}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも,\ \maru1は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nに対して,\ \maru1は成立する.}$} \\\\\\ \bm{小さいnから具体的に求めていき,\ 一般項を予想する.} \\ 一般項自体はa_3あたりで予想できるが,\ ここまでの過程で次のことにも気付く. \\ \bm{a_nを求めるとき,\ a_1からa_{n-1}までが全て必要である.} \\ つまり,\ a_2を求めるにはa_1が,\ a_3を求めるにはa_1とa_2が必要である. \\ 同様にいけば,\ a_4を求めるにはa_1,\ a_2,\ a_3が必要であろう. \\[1zh] 予想した一般項を証明するわけだが,\ それは\bm{a_{k+1}を求める}ことである. \\ \bm{a_{k+1}を求めるには,\ a_1からa_kまでが全て必要になる.} \\ 結局,\ 次の数学的帰納法を利用する. \\[1zh] \text{[1]}\ \bm{P(1)\ が成立することを示す.} \\[.2zh] \text{[2]}\ \bm{P(1),\ \cdots,\ P(k)\ が成立すると仮定し,\ P(k+1)が成立することを示す.} \\[1zh] 前の全てのドミノの重みがなければ倒せないドミノなわけである. \\ どんどん大きくなっていくようなドミノをイメージすればよい. \\[1zh] n=k+1の場合の等式を作成後,\ 仮定を全て適用する. \\ つまり,\ \bm{a_1=1,\ a_2=2,\ \cdots\cdots,\ a_k=k\ を全て代入}する. \\ すると,\ \bm{Σ公式}の形が表れるので適用する. \\ 一旦展開して整理し,\ さらに因数分解すると,\ 目標の\ a_{k+1}=k+1\ が得られる.