問題




解答

(11)~(13)の解答は以下のページで確認。

(11) 三角関数の積分⑤:∫1/sinxdx、∫1/cosxdx

(12) 三角関数の積分⑥:∫1/(1±cosx)dx、∫1/(1±sinx)dx

(13) 三角関数の積分⑦:∫√(1±cosx)dx、∫√(1±sinx)dx

検索用コード
積分自体は単純な1次式置換型だが,\ 代入後の計算が少し厄介である. \\[.2zh] $ここでは,\ 和積公式\ \cos A-\cos B=-\,2\sin\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}\ を利用した.$ \\[.8zh] 加法定理で$
異なる角の三角関数の積は次数を下げる.\ 3つの積である本問は,\ 二段階で次数を下げる. \\[.2zh] $積和公式および2倍角の公式\ \sin2x=2\sin x\cos x\ の逆を用いる.$
別解は,\ 2倍角の公式と3倍角の公式を用いて微分形接触型に変形するものである. \\[.2zh] $\sin x=tでもよいが,\ 微分形接触累乗型とみるとよい. 
$\sin^4x,\ \cos^4x\,は2倍角の公式の逆を2回用いて次数を1次にする.$ \\[.2zh] $\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ \\[.2zh] 別解のように多少技巧的な変形をしても結局同じ式に帰着する. $\sin2x=2\sin x\cos x\ の逆$
$公式\ 1+\tan^2x=\bunsuu{1}{\cos^2x}\ によって微分形接触型\ f(\tan x)\bunsuu{1}{\cos^2x}\ に帰着する.$ \\[.8zh] $\tan x\ と\ \bunsuu{1}{\cos^2x}\ は相性がよいので,\ 常に相互変換に意識しておく必要がある.$ \\[.8zh] $\tan xは\ \bunsuu{\sin x}{\cos x}\ と考えると分子が分母の微分型である.$ \\[.8zh] $別解のように,\ 微分形接触型\ f(\cos x)\sin x\ を目指して変形してもよい.$
$2倍角の公式\ \sin2x=2\sin x\cos x\ を適用すると\ x^m\sin nx\ 型に帰着する.$ \\[.2zh] $x^m\sin nx\,型は,\ \sin nx\,を微分形とみて部分積分する.\ xが2乗の場合,\ 部分積分を2回行う.$
$とりあえず\,\log x=t\ とおく.\ さらに2倍角の公式の逆で次数を下げる.$ \\[.2zh] $e^{mx}\cos nx\,型に帰着するので,\ 2回部分積分すると同型が出現することを利用して求める.$ \\[.2zh] $対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM\ より,\ a^{\log_aM}=M\ が成り立つ. 
分子が分母の微分型であることに気付きたい.
仮に気付けなくても,\ 容易に微分形接触型に変形して求められる(別解).
\によって部分積分できる型に帰着する.$