アンモナイトや銀河など、自然界にも潜む美しい螺旋のグラフである。より深い性質は、対数螺旋(Wikipedia)を参考に。

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本問は\bm{対数螺旋(等角螺旋)}という有名曲線である. \\[.2zh] 問題を見て対数螺旋と気付ければ,\ 存在しない対称性を調べる無駄が省ける. \\[1zh] \bunsuu{dx}{d\theta}=0,\ \bunsuu{dy}{d\theta}=0を解くとき,\ 三角関数の合成が必要になる. \\[.8zh] 0\leqq\theta\leqq2\pi\ のとき\ \ -\bunsuu{\pi}{4}\leqq\theta-\bunsuu{\pi}{4}\leqq2\pi-\bunsuu{\pi}{4} \\[.8zh] \sin\left(\theta-\bunsuu{\pi}{4}\right)=0となるのは \theta-\bunsuu{\pi}{4}=0,\ \pi より \theta=\bunsuu{\pi}{4},\ \bunsuu54\pi \\\\
区間の端における傾きも重要なので,\ \bm{\bunsuu{dy}{dx}\,の片側極限}を調べる. \\[.8zh] 不定形にはならないので,\ 代入するだけで直ちに求まる. \\[.2zh] \theta\to+\,0,\ \theta\to2\pi-0のとき\,\bunsuu{dy}{dx}\to1より,\ \bm{(1,\ 0),\ (e^{2\pi},\ 0)における接線の傾きが1}とわかる. \\[.8zh] ついでに,\ \dlim{\theta\to\pi}\bunsuu{dy}{dx}=1であるから,\ \bm{(e^\pi,\ 0)における接線の傾きも1}である. \\\\
\bm{座標軸との交点}も容易に求めることができる. \\[.2zh] 結局,\ 主要な点は9個あるので,\ 接線の傾き1も意識しつつ曲線を描く. \\[.2zh] 上図は傾きが1に見えないかもしれない.\ 実は上図は正確なグラフではない. \\[.2zh] e^{2\pi}\kinzi535であり,\ 正確なグラフを描くことは実質不可能なのである. \\[.2zh] よって,\ 実際には,\ それらしい図を描くことができれば問題はない. \\[1zh] 本問の極座標表示は,\ \bm{r=e^\theta}\ と非常にシンプルである. \\[.2zh] 指数螺旋と呼ぶべきだが,\ 対数の方が先に知られていたので,\ 対数螺旋となった. \\[.2zh] \theta\leqq2\pi\ という範囲を取り払うと,\ 下のような綺麗な螺旋のグラフとなる. \\[.2zh] 等角螺旋は,\ \bm{中心からの半直線と接線のなす角が常に一定}であることに由来する.