検索用コード
陰関数ではまず対称性を確認する.}\ f(x,\ y)=y^2-x^2(4-x^2)とおく. \\[.2zh] f(-\,x,\ y)=y^2-(-\,x)^2\{4-(-\,x)^2\}=y^2-x^2(4-x^2)=f(x,\ y)より,\ \bm{y軸対称}である. \\[.2zh] f(x,\ -\,y)=(-\,y)^2-x^2(4-x^2)=y^2-x^2(4-x^2)=f(x,\ y)より,\ \bm{x軸対称}である. \\[.2zh] x軸対称かつy軸対称ならば原点対称でもあり,\ 結局x\geqq0,\ y\geqq0で考えれば済む. \\[1zh] 後は\bm{陽関数表示y=}にして普通に図示すればよい. \\[.2zh] 普通に2乗をはずすとy=\pm\,x\ruizyoukon{4-x^2}\,となるが,\ x\geqq0,\ y\geqq0よりy=x\ruizyoukon{4-x^2}\,となる. \\[.2zh] \bm{定義域は\ruizyoukon{0以上}}\,である.\ 微分計算では,\ \left(\ruizyoukon x\right)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon x}\ を公式として用いる. \\[.8zh] y’の符号は,\ 常に\ruizyoukon{4-x^2}\geqq0より,\ 2-x^2の符号だけで決まる. \\[.2zh] y”\,はy’=\bunsuu{4-2x^2}{\ruizyoukon{4-x^2}}\ を微分して求める.\ 0<x<2のとき,\ 常にy”<0である. \\[1zh] y\leqq0の部分との接続を考慮し,\ 区間の端x=2におけるy’\,も求めておくとよい. \\[.2zh] ただし,\ 区間の端ではy’\,は定義されないので,\ \bm{片側極限\dlim{x\to2-0}y’}\,を求めることになる. \\[.2zh] x\to2-0のときy’\to-\,\infty\,より,\ \bm{x=2のときの接線の傾きがy軸と平行}となることがわかる. \\[.2zh] 対称性も考慮すると,\ y\geqq0の部分とy\leqq0の部分がなめらかにつながることがわかる. \\[.2zh] x=0のときy”=0であることと対称性を考慮すると,\ \bm{原点が変曲点}であることもわかる. \\[1zh] y=x\ruizyoukon{4-x^2}\ とy=-\,x\ruizyoukon{4-x^2}\ は,\ x軸対称の関係にある(yを-\,yに変えて得られるから). \\[.2zh] よって,\ y=x\ruizyoukon{4-x^2}\ (-\,2\leqq x\leqq2)\ を描き,\ それをx軸対称にする方法もある. \\[.2zh] このとき,\ y=x\ruizyoukon{4-x^2}\ とy=-\,x\ruizyoukon{4-x^2}\ のグラフは,\ 以下のようになる. \\[1zh] 本問は,\ \bm{リサジュー曲線}\ \begin{cases}
x=A\sin m\theta \\
y=B\sin n\theta
\end{cases}\hspace{-.5zw}のA=B=2,\ m=1,\ n=2の場合である. \\\\[-1zh] リサジュー曲線は,\ 媒介変数表示のグラフとして再び取り上げる.