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媒介変数表示関数$\bm{\begin{cases}
x=f(t) \\
y=g(t)
のグラフの描き方}}}{対称性の確認}} \\[1zh] {x軸対称}}である.$ \\\\[.5zh] {y軸対称}}である.$ \\\\[.5zh] }{原点対称}}である.$ \\\\[.5zh] {y=xに関し対称}}である.$ \\\\\\
まず,\ 簡単な例を示す. $\textcolor{cyan}{tを-\,tに置換}したとき,\ 次が成り立つとする.$ \\[.5zh] }{-\,tのときとtのときのx座標は等しい}) \\[.2zh] Red}{-\,tのときとtのときのy座標は正負が逆})
\end{cases}$ \\[.5zh] ここで,\ $値tと値-\,tは0に関して対称である.$ \\[.2zh] これは,\ $\textcolor{red}{t\leqq0の部分と0\leqq tの部分がx軸対称}であることを意味する.$ \\\\
よって,\ $tのときと2\pi-tのときのx座標は等しく,\ y座標の正負が逆(x軸対称)である.$ \\[.2zh] ここで,\ $値tと値2\pi-tは,\ \pi\ に関して対称である.$  {\small $\left[\,\textcolor{BrickRed}{\because\ \bunsuu{t+(2\pi-t)}{2}=\pi}\,\right]$} \\[.5zh] ゆえに,\ $\bm{\textcolor{red}{0\leqq t\leqq\pi\ の部分と\ \pi\leqq t\leqq 2\pi\ の部分がx軸対称}}である.$ \\\\
よって,\ $tのときと\,\pi-tのときのx座標の正負は逆で,\ y座標が等しい(y軸対称).$ \\[.2zh] ここで,\ $値tと値\,\pi-tは,\ \bunsuu{\pi}{2}\,に関して対称である の部分がy軸対称}}である.$ \\\\
結局,\ $\bm{\textcolor{red}{まず\,0\leqq t\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ の範囲を図示し,\ x軸対称かつy軸対称に図示すればよい.}}$ \\\\\\
ちなみに,\ 次のこともわかる.\ 結果論だが,\ 当グラフでは考慮する必要性は低い. \\[.5zh] よって,\ $tのときと\,\bunsuu{\pi}{2}-tのときが直線y=xに関して対称である.$ \\[.3zh] ここで,\ $値tと値\,\bunsuu{\pi}{2}-tは,\ \bunsuu{\pi}{4}\,に関して対称である. の部分がy=xに関し対称}}である.$ \\\\\\
さて,\ \underline{試しに}\ $\textcolor{cyan}{2\pi-t,\ \pi-t,\ \bunsuu{\pi}{2}-t}\ を代入したことにより,\ 対称性があることがわかった.$ \\[.2zh] しかし,\ $\bm{そもそもこれらの代入値は何を根拠にしているのだろうか.}$ \\[1zh] \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{仮に対称性が存在するならば,\ 対称の中心となる$\bm{t}$が何かを考える.}} \\
定義域は,\ $0\leqq t\leqq2\pi\ である.\ また,\ \cos\theta,\ \sin\theta\ は,\ 周期が2\pi\ である.$ \\[.2zh] よって,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{対称の中心が\,\pi\,や\,\bunsuu{\pi}{2}\\,である可能性が高い}}と予想できる.$ \\[.5zh] $\textcolor[named]{ForestGreen}{t=\pi\ が対称の中心}になりうるかは,\ \textcolor{cyan}{t\to2\pi-tと置換}してみるとわかる.$ \\[.2zh] $\textcolor[named]{ForestGreen}{t=\bunsuu{\pi}{2}\ が対称の中心}になりうるかは,\ \textcolor{cyan}{t\to\pi-tと置換}してみるとわかる.$ \\[.5zh] このような思考で,\ $2\pi-tや\,\pi-t等を代入してみよう思ったわけである.$ \\\\
また,\ \textbf{\textcolor{Purple}{三角関数を含む}}なら,\ $\bm{\textcolor{Purple}{\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\ 等の公式}}も1つの目安になる.$ \\[.2zh] その他,\ \textbf{\textcolor{red}{簡単な$\bm{t}$の値をいくつか代入し,\ 概形をつかむ}}のも有効である. \\[.2zh] 本問なら,\ $t=\bunsuu{\pi}{4},\ \bunsuu{\pi}{2},\ \pi,\ \bunsuu32\pi,\ 2\pi\ などを代入して点をとっていく.$ \\[.6zh] 対称性があれば高確率で気付けるはずである.\ 後はそれを式で確認すればよい. \\\\
増減表の作成}}yの5行の増減表を作る.}}$ \\[.5zh] \ \ $\textcolor{red}{\bunsuu{dx}{dt}はx方向のみの増減,\ \bunsuu{dy}{dt}はy方向のみの増減}を表す.$ \\[.5zh] \ \ $よって,\ 増減表の対応は次のようになる.$
\}{グラフの図示}} \\[.5zh] \maru1\ \ $必要ならば,\ \bm{\textcolor{Purple}{傾き\ \bunsuu{dy}{dx}=\bunsuu{\bunsuu{dy}{dt}}{\bunsuu{dx}{dt}}}}\ を考慮する.$ \\[.5zh] \ \ \textbf{\textcolor{Purple}{区間の端における傾きは,\ 片側極限で求める}}ことになる (x軸平行)}である.$ \\\\\\
\maru2\ \ \textbf{\textcolor{red}{座標軸との交点}}を求める(容易に求まる場合のみ). \\\\
\maru3\ \ 主要な点を全てとり,\ 増減表を元になめらかに曲線を描く. \\[.2zh] \ \ 実際には,\ $\bm{\textcolor{red}{(x,\ y)の動きを意識しながら図示}}することになる.$ \\[.2zh] \ \ $(x,\ y)の動きは,\ x方向,\ y方向の増減から,\ 4パターン存在する.$
\ 実際には5行または4行で十分だが,\ ここでは特別に7行の増減表を作成する. \\[.2zh] \ \ \textbf{\textcolor{red}{区間の端における傾き,\ $\bm{(x,\ y)の動き}$,\ 対称性}}を考慮して図示する.
\ \ 区間の端の傾きと対称性より,\ $(1,\ 0),\ (0,\ 1)でなめらかに接続する.$ \\[.2zh] \ \ $x=\cos t,\ y=\sin t$は単に円の媒介変数表示なので,\ 実は5秒で図示できた.