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次の関数を微分せよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ y=x^x\ \ (x>0)          (2)\ \ y=(\log x)^x\ \ (x>1)$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ y=\ruizyoukon[4]{\bunsuu{(x-2)^3}{(x-1)^2(2x+1)}}$ \\
\対数微分法}}}} \\\\[.5zh] 対数微分法は,\ $\bm{\textcolor{red}{両辺の絶対値の自然対数をとった後,\ 両辺をxで微分する}}$方法である. \\\\
まず,\ どのような場合に対数微分法を使うのかを述べる. \\[.2zh] 対数微分法が有効な問題には,\ 大きく分けて2つある. \\\\
1つ目は以下の\maru3の場合である.\ (1),\ (2)がこれに当たる. \\[.5zh] $\maru1 \bm{(\textcolor{red}{変数})^{(\textcolor{cyan}{定数})}の微分}  公式(x^a)’=ax^{a-1}\,を利用する.   \rei\ \ (x^3)’=3x^2$ \\[.25zh] $\maru2 \bm{(\textcolor{cyan}{定数})^{(\textcolor{red}{変数})}の微分}  公式(a^x)’=a^x\log a\,を利用する.  \hspace{-.1zw}\ \,\rei\ \ (2^x)’=2^x\log2$ \\[.25zh] $\maru3 \bm{(\textcolor{red}{変数})^{(\textcolor{red}{変数})}の微分}  \textbf{\textcolor{blue}{対数微分法}}\hspace{12zw}\rei\ \ (x^x)’$ \\\\
2つ目は,\ \textbf{\textcolor{blue}{多くの因数の積・累乗や商}}になっている(3)のような場合である. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{ForestGreen}{対数の性質を用いて分解してから微分する}}と楽になる. \\\\\\
では,\ 実際に対数微分法でどのように微分するかを確認する. \\[.2zh] $y=f(x)$において両辺の絶対値の自然対数をとると,\ $\bm{\textcolor{cyan}{\log \zettaiti{y}=\log\zettaiti{f(x)}}}$となる. \\[.2zh] これの両辺を$x$で微分するとき,\ $\bm{\textcolor{red}{\log\zettaiti{y}をxで微分}}$することになる. \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{しかし,\ $y$は$x$の関数であるにもかかわらず,\ 見かけ上$x$の式ではないので$x$で微分できない.} \\[.2zh] そこで,\ 次のように微分する. \\[.5zh] つまり,\ 一旦$yで微分\left(\bunsuu{d\log \zettaiti{y}}{dy}\right)し,\ \bunsuu{dy}{dx}\ (=y’)を掛けてつじつまを合わせたわけである.$ \\[.2zh] これは,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{合成関数の微分法}}に他ならない. \\[.2zh] このようにして,\ 見かけ上$x$の式でない関数を$x$で微分する機会が今後頻繁に訪れる. \\\\\\\\
(1)\ \ $x>0よりy>0なので,\ \textcolor{red}{両辺の自然対数をとる}と 
両辺が常に正である場合,\ 絶対値をつける必要はない. \\[.2zh] \log yの微分の途中過程を書く必要はないので,\ 直ちに\,\bunsuu{y’}{y}\,とすればよい. \\[.8zh] 右辺は積の微分法の公式\ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ を用いることになる. \\[.2zh] 分母のyを右辺に移項し,\ さらにxの式にして完了する. \\[1zh] 実は,\ 対数微分法を使わずに微分することも可能である(別解). \\[.2zh] 対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM\ より,\ \bm{a^{\log_aM}=M}\ が成り立つ. \\[.2zh] これを利用して底をeに変換してしまえば,\ (e^x)’=e^x\ の適用が可能になる(a→e,\ M→x^x). \\[.2zh] x\log x=uと考えると,\ (e^{x\log x})’=(e^u)’=e^u\cdot u’\ である.\ e^{x\log x}\,は微分後に元に戻す.
(2)\ \ $x>1$より$\log x>0$であるから$y>0$である. }{両辺の自然対数をとる}と $\log y=\log(\log x)^x=x\log(\log x)$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{両辺をxで微分する}と 
\{\log(\log x)\}’\,は,\ \log x=uと考えると(\log u)’=\bunsuu1u\cdot u’\ である.
\両辺の絶対値の自然対数をとる}と
まず,\ 絶対値を忘れない.\ 対数の性質を利用して分解していくと,\ 簡単な\log の微分に帰着する. \\[.2zh] 微分公式は,\ 絶対値がついていても\ (\log\zettaiti x)’=\bunsuu1x\ であった. \\[.6zh] ただし,\ いずれも合成関数の微分になっているので注意が必要である.\ 後は以下を頑張って計算する.
対数の性質 \log MN=\log M+\log N,\ \ \log \bunsuu MN=\log M-\log N,\ \ \log M^r=r\log M