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次の関数を微分せよ. \\[1zh] }{指数関数と対数関数の微分法}{指数関数の導関数}} 
\textcolor{blue}{\textbf{対数関数の導関数}}  &amp
積の微分法の公式\ \bm{\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\ を適用する. \\[.2zh] 商の微分法の公式\ \bm{\left\{\bunsuu{f(x)}{g(x)}\right\}’=\bunsuu{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\ を適用する. \\[1.2zh] 別解のように変形して,\ 積の微分法の公式を適用してもよい.
対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM\ より,\ \bm{a^{\log_aM}=M}\ が成り立つ. \\[.2zh] 微分前でも微分後でもよいが,\ どっちにしてもa^{\log _aM}=Mを使って簡潔な答えにする必要がある.
x+\ruizyoukon{x^2+1}=uと考えると,\ y’=(\log u)’=\bunsuu1u\cdot u’\ である. \\[1zh] さらに,\ x^2+1=vと考えると,\ (\ruizyoukon{v}\,)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon v}\cdot v’\ である. \\[1zh] なお,\ (\ruizyoukon x\,)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon x}\ は公式として暗記必須である. \\[1zh] 分数の分数になるので,\ 分母分子に\,\ruizyoukon{x^2+1}\,を掛けて処理すると,\ 上手く約分できて簡潔になる. \\[.2zh] 簡潔になるのにはそれなりの背景がある.\ 特に,\ (5)や(7)は積分公式としても利用される.
あらかじめ微分しやすい形に変形すべきである. \\[.2zh] 特に対数関数の場合,\ \log MN=\log M+\log N,\ \log\bunsuu MN=\log M-\log N\ での分割が有効である. \\[1zh] また,\ \log M^k=k\log M\,であるから,\ \sqrt{ }\,は\,\bunsuu12\,と考えると前に出せる.\ \bunsuu{2x}{x^4-1}\ と答えてもよい.
まず,\ (\tan x)’=\bunsuu{1}{\cos^2x}\ は公式である.\ 微分後にそのまま終えてはいけない. \\[1zh] \tan x=\bunsuu{\sin x}{\cos x}\ および\ \sin2x=2\sin x\cos xの逆を適用すると簡潔な形になる
そのままでは微分公式を適用できないので,\ 変換公式\ \log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}\ で底をeに変換する. \\[.8zh] \log2は定数なので,\ \left(\bunsuu{1}{\log x}\right)’\,に帰着する.\ \log x=uと考えると,\ \left(\bunsuu1u\right)’=-\bunsuu{1}{u^2}\cdot u’\ である