検索用コード
定義に従って,\ 次の関数の導関数を求めよ. \\[1zh] {導関数の定義による微分計算}}}}導関数の定義} \textcolor{red}{$\bm{f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}}$}}}} \\\\[1zh] 微分するときは微分公式を用いるのが普通である. \\[.2zh] しかし,\ 定義に基づく微分を要求されることがあるので,\ 演習しておく必要がある. \\[.2zh] 要は極限計算の問題だが,\ 実際に計算してみると微分公式の有り難さを再確認できるだろう.
導関数の定義式は,\ そのまま適用しただけでは\ \bunsuu00\ の不定形となる. \\[.6zh] よって,\ 不定形でない形に変形してから極限にとばさなければならない. \\[.2zh] 本問の場合は,\ 通分して整理していくと\bm{約分}でき,\ 不定形ではなくなる.
根号を含む式が不定形になる場合,\ \bm{有理化}するのであった. \\[.2zh] 分母分子に\ \ruizyoukon a+\ruizyoukon b\ を掛けると,\ (\ruizyoukon a-\ruizyoukon b\,)(\ruizyoukon a+\ruizyoukon b\,)=a-bと有理化できる.
3乗根は,\ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\ を利用して有理化する必要がある. \\[.2zh] a=\ruizyoukon[3]{x+h},\ b=\ruizyoukon[3]{x}\ として適用したわけである. \\[.2zh] ちなみに,\ y=x^{\frac13}\ として微分公式を用いると,\ y’=\bunsuu13x^{-\frac23}=\bunsuu{1}{3x^{\frac23}}=\bunsuu{1}{3\ruizyoukon[3]{x^2}}\ となる.