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合成関数の微分法と逆関数の微分法より \bunsuu{dy}{dx}=\bunsuu{dy}{dt}\cdot\bunsuu{dt}{dx}=\bunsuu{\bunsuu{dy}{dt}}{\bunsuu{dx}{dt}} \\[1.3zh] 合成関数の微分法や逆関数の微分法と同様,\ あたかも分数であるかのように扱えることがわかる. \\[.2zh] ただし,\ \bunsuu{d^2y}{dx^2}\bm{\textcolor{red}{\ \neqq\ }}\bunsuu{\bunsuu{d^2y}{dt^2}}{\bunsuu{d^2x}{dt^2}}\ なので注意が必要である. \\[1.2zh] 第1次導関数は\ \bunsuu{dy}{dx}=(tの式)\ となるが,\ これをxで微分したのが\,\bunsuu{d^2y}{dx^2}\,である. \\[.8zh] よって,\ 一旦tで微分した後,\ \bunsuu{dt}{dx}\,を掛けてつじつまを合わせることになる(合成関数の微分法). \\[.8zh] つまり,\ 合成関数の微分法になることさえ理解していれば,\ 第2次導関数の公式を覚える必要はない. \\[.2zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
本問の関数は,\ 大学入試2大頻出有名曲線の1つのサイクロイドである.
両辺を$x$で微分して 
本問の関数は,\ 大学入試2大頻出有名曲線のもう1つのアステロイドである. \\[.2zh] アステロイドは,\ サイクロイドとは違って陰関数表示が可能である. \\[.2zh] よって,\ 別解のように陰関数の微分法で求めることも可能である. \\[.2zh] \cos\theta=x^{\frac13},\ \sin\theta=y^{\frac13}\ とし,\ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1を利用すると\,\theta\,を消去できる. \\[.2zh] \bunsuu{dy^{\frac23}}{dx}=\bunsuu{dy^{\frac23}}{dy}\cdot\bunsuu{dy}{dx}=\bunsuu23y^{-\frac13}\bunsuu{dy}{dx}\ \ (合成関数のに微分法) \\[.8zh] \bunsuu{d^2y}{dx^2}\,は\,-\left(\bunsuu yx\right)^{\frac13}\,をxで微分すればよいが,\ yがxの関数であることに注意しなければならない. \\[.8zh] つまり,\ \left(\bunsuu yx\right)’\,は商の微分法の扱いとなる. \\[.6zh] y’を代入して整理していくと,\ 最後にx^{\frac23}+y^{\frac23}=1\ を適用できる. \\[.2zh] x=\cos^3\theta,\ y=\sin^3\theta\,とすると本解と一致することも確認しておいてほしい.
本問は,\ 円の媒介変数表示の1つである.\ その知識があれば,\ 別解も可能になる. \\[.2zh] x^2+y^2\,を計算してみるとtが消去できるので,\ 陰関数の微分法で求めることができるようになる.
が,\ 実は和積の公式で簡潔になる. \\[.8zh]