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変量$x$に対して新たな変量$\textcolor{cyan}{u=ax+b}$を定める. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{blue}{変量$\bm{u}$の平均$\bm{\kyouyaku u}$,\ 分散$\bm{{s_u}^2}$,\ 標準偏差$\bm{s_u}$は$\bm{\kyouyaku x,\ {s_x}^2,\ s_x}$と比べてどう変化するだろうか.
よって,\ 変量$x$を$a$倍した変量$u$の\textbf{\textcolor{red}{平均$\bm{\kyouyaku u}$は元の平均$\bm{\kyouyaku x}$を$\bm{a}$倍した値}}になる.
よって,\ 変量$x$に$b$加えた変量$u$の\textbf{\textcolor{red}{平均$\bm{\kyouyaku u}$は元の平均$\bm{\kyouyaku x}$に$\bm{b}$加えた値}}になる. \\\\\\
分散・標準偏差の前に\textbf{\textcolor{blue}{偏差の変化}}について考えておく. 偏差$\bm{u_n-\kyouyaku u}$は元の偏差$\bm{x_n-\kyouyaku x}$の$\bm{a}$倍}}になる.\ $b$加えた分は偏差に影響しない. \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{分散$\bm{{s_u}^2}$と$\bm{{s_x}^2}$,\ および標準偏差$\bm{s_u}$と$\bm{s_x}$の関係}}をそれぞれ考える.2乗の根号をはずすと絶対値がつく.\ ただし,\ 標準偏差は常に正.}]$} \\\\
よって,\ 変量$u$の\textbf{\textcolor{red}{分散$\bm{{s_u}^2}$は元の分散$\bm{{s_x}^2}$の$\bm{a}$倍}}になる. \\[.2zh] また,\ 変量$u$の\textbf{\textcolor{red}{標準偏差$\bm{s_u}$は元の標準偏差$\bm{s_x}$の$\bm{\zettaiti a}$倍}}になる. \\[.2zh] $b$加えた分は偏差に影響しないので,\ 偏差が元である分散と標準偏差にも影響しない.
さらに,\ 変量$y$に対して新たな変量$\textcolor{cyan}{v=cy+d}$を定める. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{blue}{変量$\bm{u,\ v}$の共分散$\bm{s_{uv}}$と相関係数$\bm{r_{uv}}$は$\bm{s_{xy},\ r_{xy}}$と比べてどう変化するだろうか.}} \\[1zh] まず,\ $u=ax+b$と同様にして次の関係を導くことができる. 共分散$\bm{s_{uv}}$と$\bm{s_{xy}}$の関係}}を考える.
よって,\ 変量$u$と$v$の\textbf{\textcolor{red}{共分散$\bm{s_{uv}}$は元の共分散$\bm{s_{xy}}$の$\bm{ac}$倍}}になる. 相関係数$\bm{r_{uv}}$と$\bm{r_{xy}}$の関係}}を考える.
$ややわかりづらいので場合分けすると 
つまり,\ 変量$u$と$v$の\textbf{\textcolor{red}{相関係数$\bm{r_{uv}}$と元の相関係数$\bm{r_{xy}}$は絶対値が一致する.}} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{purple}{変量$\bm{x,\ y}$に定数を掛けたり足したりしても相関の強弱は変化しない}}というわけである. \\[.2zh] ただし,\ \textbf{\textcolor{purple}{変量$\bm{x,\ y}$の一方に負数を掛けると相関の正負が逆転する.平均値,\ 分散,\ 標準偏差,\ 共分散,\ 相関係数が既知である変量$x,\ y$に対し,\ 新たな変量 \\[.2zh] \hspace{.5zw}$u=2x+1,\ \ v=-\,y+3$を定めるとき, $u,\ v$の平均値,\ 分散,\ 標準偏差,\ 共分散,\ 相関 \\[.2zh] \hspace{.5zw}係数を求めよ.
変量の具体的な数値が与えられていないので,\ 直接計算して求めることはできない. \\[.2zh] 変換u=ax+b,\ v=cy+dにおいてそれぞれどう変化するかに着目して答える. \\[.2zh] 以下は理屈を理解した上で暗記しておくべきである. \\[1zh]