定期試験レベルの基本問題です。

問題




解答

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∫1/(1+x^2)dx ∫(1+x)^2/x^2dx ∫x^2/(1-x)dx ∫1/(1-x^2)dx ∫x/(1-x^2)dx ∫x^3/(1+x^2)dx ∫1/(√(x+1)-√x)dx ∫(1-√x)^2/√xdx ∫x√(1-x)dx ∫√(1-x^2)dx ∫x√(1-x^2)dx ∫√(1-2x+x^2)dx
積分区間が対称なので,\ まず偶関数・奇関数の可能性を探る. \ f(x)は偶関数.も適用する.$ \\[1zh] 定積分において置換した場合,\ 積分区間が変わることを忘れないように注意する.
積分ではとにかく展開して和の形にする.\ また,\ 分母が1つの項なら分割する.
分子の次数が分母より大きい場合,\ まず分子の次数を分母より小さくする. \\[.2zh] 1次式置換型\ $\dint{}{}\bunsuu{1}{1-x}\,dx$\ において$-$を掛け忘れないように注意する.
分母が因数分解できる場合は部分分数分解する. \
1つの方針としては間違いではないが,\ 分母を因数分解しようとした人は反省が必要である. \\[.2zh] 分数関数では分子が分母の微分型でないかの確認を最優先し,\ そうならば瞬殺する.
積分区間が対称なので偶関数・奇関数の可能性を探る.\ 奇関数ならば計算せずとも0である.
有理化して分母を定数にする. (公式
展開した後,\ 分割する.
根号を丸ごと置換する型である.\ $1-x=t$とすると積分が面倒になる. \\[.2zh] また,\ $x$に戻す前に分数や$t^3$をくくりだしておくと後が楽になる. \\[.2zh] まとまりが悪くなるので,\ $(1-x)\ruizyoukon{1-x}$とはせずに$(1-x)^{\frac32}$としておいた. \\[1zh] 上級者には,\ $1-x$で展開する別解の方法がお勧めである. \\[.2zh] $\dint{}{}(1-x)^{\frac12}\,dx=-\bunsuu23(1-x)^{\frac32}+C\ (1次式置換型)は,\ -\,を忘れないよう注意.$ \\[.8zh] よって,\ 求める定積分は右図の面積に等しい.
$\ruizyoukon{a^2-x^2}\ を含む定積分は,\ x=a\sin \theta\ と置換するのが基本である.$ \\[.2zh] しかし,\ 特に被積分関数が円を表す場合,\ 円の面積の一部とみて瞬殺すべきである. \\[.2zh] $\ruizyoukon{a^2-x^2}$を含む関数が常に円を表すとは限らないので,\ 別解の方針も本解以上に重要である. \\[.2zh] $0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ のとき\ \cos\theta\geqq0\ より,\ \zettaiti{\cos\theta}=\cos\theta\ である.$ \\[.6zh] $\cos^2\theta\,は,\ 2倍角の公式\ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1\ の逆によって次数を下げる.$
$(1-x^2)’=-\,2x\,が接触しているので,\ 微分形接触型である.$ \\[.2zh] $1-x^2=t\ とおいてもよいが,\ 根号を丸ごと置換するほうが楽になる.$ \\[.2zh] $1-x^2=t^2\ の両辺をxで微分すると -2x=2t\cdot\bunsuu{dt}{dx}\ (合成関数の微分)$ \\[1zh] $上級者は微分形接触累乗型とみて瞬殺しよう.  \dint{}{}\{f(x)\}^\alpha f'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ \\[1zh] $\ruizyoukon{a^2-x^2}\,を含むのでx=\sin\theta\,とおいても積分できるが,\ 面倒で回りくどいだけである.$
に注意して根号をはずす.$ \
\end{cases}$に注意して絶対値をはずす. \\\\[-1zh] このとき,\ 積分区間も分割しなければならない. \\[.2zh] $1-x\geqq0のときx\leqq1,\ 1-x\leqq0のときx\geqq1である.$ \\[1zh] 本問は,\ 図形的意味を考えると瞬殺できる. \\[.2zh] 全体に絶対値がつくと,\ そのグラフは元の負の部分を$x$軸に関して折り返したものになる. \\[.2zh] よって,\ $y=\zettaiti{1-x}$のグラフは,\ $y=1-x$の負の部分を$x$軸に関して折り返したものである.