問題




解答

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主な解法が3つある.\ 1つ目は部分積分である. \\[.2zh] 2つ目の置換積分は自然でわかりやすいが,\ 計算量・記述量が増えてしまう. \\[.2zh] $tからxに戻す前に因数分解しておくこと.$ \\[.2zh] 3つ目の$x-1$で展開する方法が最も簡潔で推奨される. \\[.2zh] 一見すると答えが違うが,\ 変形すると一致する.
x^2)’=2xが接触しているから微分形接触型である.$ \\[.2zh] $x^2+1=t$と置換してもよいが,\ 根号を丸ごと置換すると後で根号の処理をせずに済む. \\[.2zh] $x^2+1=t^3\ の両辺をxで微分すると 2x=3t^2\cdot\bunsuu{dt}{dx}\ \ (合成関数の微分)$
の両辺を2乗して整理すると \textcolor{red}{\left(x-\bunsuu12\right)^2+y^2=\bunsuu14\ \ (y\geqq0)}$ \\[.6zh] よって,\ 求める定積分は右図の面積(半円)に等しい.{-x^2+ax+b}\ 型は,\ 平方完成すると\ \ruizyoukon{a^2-x^2}\ 型に帰着する.$ \\[.2zh] $よって,\ \ruizyoukon{a^2-x^2}\ 型と同じく円の面積と見なすべきである.$ \\[.2zh] $\ruizyoukon{-x^2+ax+b}\ を含む式が常に円を表すとは限らないので,\ 別解も要確認である.$ \\[.2zh] $\ruizyoukon{a^2-x^2}\ 型は,\ x=a\sin\theta\ と置換する.$ \\[.2zh] $積分区間内では\ \cos\theta\geqq0\ であるから,\ 絶対値ははずすことができる.$ \\[.2zh] また,\ 積分区間が対称であるから,\ 偶関数・奇関数の可能性を探る. \\[.2zh] $f(\theta)=\cos^2\theta\ とすると\ f(-\theta)=\cos^2(-\theta)=\cos^2\theta=f(\theta)\ より,\ f(\theta)は偶関数である.$ \\[.2zh] $\cos^2\theta\ は,\ 2倍角の公式\ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1\ の逆を用いて次数を下げる.$
と置換すると二度手間になるので,\ 丸ごと置換する.$ \\[.2zh] $1+\ruizyoukon x=t^2\ の両辺をxで微分して\ \ 有理化することで分母を定数にできる型である. \\[.2zh] $x\ruizyoukon{x^2+1}\ は微分形接触累乗型なので,\ x^2+1=t\ か\ \ruizyoukon{x^2+1}=t\ と置換して積分できる.$ \\[.2zh] $微分形接触累乗型\ \dint{}{}\{f(x)\}^{\alpha}f'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ とみなすと瞬殺できる.分母をはらうと$ \\[.8zh] $ 1=A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)$ \\[.2zh] $x=0を代入してA=\bunsuu12,\ x=-1を代入してB=-1,\ x=-2を代入してC=\bunsuu12\ を得る.(x^2+1)=2x’$\,が接触しているから微分形接触型である. \\[.2zh] さらに,\ 微分形接触累乗型とみなすと瞬殺できる.
分母に累乗の因数がある場合,\ その因数の1次から最高次までを全て分母として分解する. \\[.2zh] $\bunsuu{1}{x(x+1)^2}=\bunsuu{A}{x}+\bunsuu{B}{x+1}+\bunsuu{C}{(x+1)^2}\ とおいて分母をはらうと$ \\[1zh] $ 1=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$ \\[.2zh] $x=0としてA=1,\ \ x=-1としてC=-1,\ \ x=1としてB=-1を得る.$
とりあえず約分できることに気付かなければならない. \\[.2zh] $(分母の2次式)=0においてD<0ならば,\ 平方完成して\ \bunsuu{1}{x^2+a^2}\ 型の積分に帰着させる.$ \\[.6zh] この型は$x=a\tan\theta$と置換する.\ また,\ $1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}$\ を適用することになる.
と置換してもよいが,\ 約分できることに気付ければ速い.$ \\[.2zh] $x+1=\left(\ruizyoukon[3]{x}\,\right)^3+1^3\ とみて\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ を適用する.$
$(分子の次数)\geqq(分母の次数)であるから,\ まずは分子の次数を下げるのが先決である.$ \\[.2zh] $(分子の次数)=(分母の次数)なら,\ 分子に分母と同じ形を作ってつじつまを合わせるとよい.$ \\[.2zh] 後は部分分数分解だが,\ 分母が2次式の分数は分子が1次以下の式となることに注意する. \\[.2zh] $5x^2+x-1=\bunsuu{A}{x+1}+\bunsuu{Bx+C}{x^2-x+1}\ とおいて分母をはらうと$ \\[.8zh] $5x^2+x-1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)$ \\[.2zh] $x=-1としてA=1,\ \ x=0としてC=-2,\ \ x=1としてB=4を得る.$ \\[.2zh] 結局,\ 分子が分母の微分型に帰着する.