定期試験レベルの基本問題です。

問題




解答

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x^m\sin nx型は,\ \sin nx\,を微分形と見て部分積分する.$
$(x^2)’=2xが接触しているので,\ 微分形接触型である.\ x^2=tとし,\ 置換積分する.$
$2倍角の公式\ \cos2x=1-2\sin^2x\ の逆で次数を下げる.$
$基本は3倍角の公式\ \sin3x=-\,4\sin^3x+3\sin x\ の逆による次数下げである(本解).$ \\[.2zh] $\sin xを1個分離して残りを\cos xで表し,\ 微分形接触型f(\cos x)\sin xにする別解もある.$ \\[.2zh] 本問では回りくどくなるが,\ この別解の考え方は$\sin^5x,\ \sin^7xなどに応用できる利点がある.$ \\[.2zh] 定積分において置換した場合,\ 積分区間が変わることを忘れないように注意する. \\[.2zh] さらに積分区間が対称になるから,\ 偶関数・奇関数の可能性を探る. \\[.2zh] $f(t)=1-t^2\ とすると\ f(-t)=1-(-t)^2=1-t^2=f(t)\ より,\ f(t)$は偶関数である. \\[.2zh] 上級者は,\ 微分形接触累乗型\ $\dint{}{}\{f(x)\}^\alpha f'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$\ とみるのもよい(別解2).
$2倍角の公式\ \sin2x=2\sin x\cos x\ を逆に用いて次数を下げる.$ \\[.2zh] $2倍角の公式により,\ \sin2x\cos2x=2\sin x\cos x(2\cos^2x-1)である.$ \\[.2zh] $これは微分形接触型\ f(\cos x)\sin x\ なので,\ \cos x=t\ と置換して求めることも可能である.$ \\[.2zh] $しかし,\ この解法は面倒な上に\sin4x\cos4xなどに対して応用が利かない.$
積和の公式$\cos\alpha\sin\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$を用いて次数を下げる. \\[.6zh] $最初に\cos3x\sin2xとしたのは,\ \alpha-\beta\ が負になることを避けるためである.$ \\[.2zh] もちろん,\ $\sin2x\cos3x=\bunsuu12\{\sin5x+\sin(-x)\}=\bunsuu12(\sin5x-\sin x)$と考えてもよい. \\[.6zh] 2倍角と3倍角の公式より,\ $\sin2x\cos3x=2\sin x\cos x(4\cos^3x-3\cos x)$である. \\[.2zh] $これは微分形接触型\ f(\cos x)\sin x\ なので,\ \cos x=t\ と置換して求めることも可能である.$ \\[.2zh] しかし,\ この解法は面倒な上に$\sin5x\cos4x$などに対して応用が利かない.
$e^{mx}\sin nx,\ \ e^{mx}\cos nx\ 型は,\ 2回部分積分すると同型が出現することを利用して求める.$ \\[.2zh] $\sin と\cos をペアで考え,\ 微分から逆算するうまい別解もある.$
$\tan xはとりあえず\ \bunsuu{\sin x}{\cos x}\,としてみるのが積分の基本方針の1つである.$ \\[.8zh] $特に,\ \tan x\ と\ \bunsuu{1}{\tan x}$\ は,\ 分子が分母の微分型に帰着する. \\[.8zh] $\tan^2x\ と\ \bunsuu{1}{\tan^2x}\ は,\ 相互関係\ 1+\tan^2x=\bunsuu{1}{\cos^2x},\ \ 1+\bunsuu{1}{\tan^2x}=\bunsuu{1}{\sin^2x}\ を利用する.$ \\[1zh] すると,\ 公式\ $\dint{}{}\bunsuu{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C,\ \ \dint{}{}\bunsuu{1}{\sin^2x}\,dx=-\bunsuu{1}{\tan x}+C$\ に帰着する.
微分形接触型\ $f(\tan x)\bunsuu{1}{\cos^2x}\ であるから,\ \tan x=t\ と置換すると積分できる$. \\[.8zh] $よく考えると微分形接触累乗型でもあるので,\ 置換せずとも瞬殺できる.$ \\[.2zh] $なお,\ 本問は\ \tan x=\bunsuu{\sin x}{\cos x}$として積分するのは困難である. \\[.6zh] 積分では,\ $\tan x\ とその微分\ \bunsuu{1}{\cos^2x}$を常にセットで意識しておくことが重要である.
分数の積分では常にこの確認が最優先である.\ 気付けなかった人は思考順序を改めよう. \\[.2zh] また,\ $常に\ 1-\sin x>0\ なので絶対値はつけない(問題より,\ 分母1-\sin x\neqq0は確定).$
微分形接触型である.\ 定数項もまとめて置換する.\ 根号丸ごと置換するのもよい. \\[.2zh] $1-\cos x=t^2\ の両辺をxで微分すると \sin x=2t\cdot\bunsuu{dt}{dx}$\ \ (合成関数の微分) \\[.8zh] $\dint{}{}\bunsuu{1}{\ruizyoukon x}\,dx=2\ruizyoukon x+C$\ は公式として覚えておきたい.
$\cos2xは2倍角の公式を用いると\ \sin x\pm\cos x\ と約分できる.