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次の変量$x$のデータ$488,\ 518,\ 488,\ 518,\ 533$に対し,\ $u=\bunsuu{x-500}{3}$とおく. \\[.6zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 変量$u$の分散${s_u}^2$\ 標準偏差$s_u$,\ 変量$x$の平均$\kyouyaku x$,\ 分散${s_x}^2$,\ 標準偏差$s_x$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $z=\bunsuu{x-\kyouyaku x}{s_x}$とおくとき,\ 変量$z$の平均$\kyouyaku z$と標準偏差$s_z$を求めよ. \\
変数変換と標準化,\ 偏差値}}}} \\\\[.5zh] 直接{s_x}^2\,を求めてもよいのだが,\ 数値が複雑になると計算が面倒である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{簡単な数値の変量uに変換し,\ その分散{s_u}^2\,を利用して元の変量xの分散{s_x}^2\,を導く.} \\[.2zh] 以前仮平均を用いて平均値を求めたが,\ 同様の発想で分散も楽に求めようというわけである. \\[1zh] まず,\ 変量uを求めた後,\ 変量uの分散{s_u}^2\,と標準偏差s_u\,を基本にしたがって求める. \\[.2zh] 変量uの平均を\,\kyouyaku u\,とすると,\ 偏差u-\kyouyaku u\ の2乗の平均が分散,\ その平方根が標準偏差である. \\[1zh] \kyouyaku u,\ {s_u}^2,\ s_u\,が求まれば,\ 前項の変数変換で示した関係を用いて\,\kyouyaku x,\ {s_x}^2,\ s_x\,が求められる. \\[.2zh] 前項の内容を簡単に復習する.\ 変量xに対して新たな変量u=ax+bを定める. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\kyouyaku u=a\kyouyaku x+b,\ \ {s_u}^2=a^2{s_x}^2,\ \ s_u=\zettaiti as_x}なる関係が成り立つのであった. \\[.2zh] 前項では\,\kyouyaku x,\ {s_x}^2,\ s_x\,から\,\kyouyaku u,\ {s_u}^2,\ s_u\,を求めたが,\ 今回は逆に\,\kyouyaku u,\ {s_u}^2,\ s_u\,から\,\kyouyaku x,\ {s_x}^2,\ s_x\,を求める. \\[.2zh] x=au+bなのであれば,\ \bm{\kyouyaku x=a\kyouyaku u+b,\ \ {s_x}^2=a^2{s_u}^2,\ \ s_x=\zettaiti{a}s_u}\ となる.
変量xの平均\ \kyouyaku x\,と標準偏差s_x\,を用いた変換\bm{z=\bunsuu{x-\kyouyaku x}{s_x}}\,を考える. \\[.8zh] 一見わかりづらいが,\ \bm{\kyouyaku x\,と\,s_x\,は何らかの定数}なので所詮は変換z=ax+bにすぎない. \\[.2zh] z=\bunsuu{1}{s_x}x-\bunsuu{\kyouyaku x}{s_x}\,より,\ a=\bunsuu{1}{s_x},\ b=-\bunsuu{\kyouyaku x}{s_x}\ である. \\[1zh] 後は\ \kyouyaku z=a\kyouyaku x+b,\ \ s_z=\zettaiti{a}s_x\ によって求めることができる. \\[.2zh] こうして,\ どんなデータでも\bm{平均が0,\ 標準偏差(分散)が1}になるように変換できる. \\[.2zh] このような変換を\bm{標準化}という. \\[1zh] 以下に\bm{標準化の意義}を示す. \\[.2zh] 3教科とも60点の\text A君を含む5人の試験結果が以下であったとしよう. \\[.2zh] 同じ60点であっても,\ 各教科の平均点や標準偏差次第でその価値が変わってくる. \\[.2zh] なお,\ 標準偏差は平均値まわりの散らばりを意味するのであった. \\[.5zh] 数学 20 40 50 60 80\phantom{0} \ \,(平均50,\ 標準偏差20) \\[.2zh] 国語 40 45 50 55 60\phantom{0} \ \,(平均50,\ 標準偏差7) \\[.2zh] 英語 40 60 70 80 100 (平均70,\ 標準偏差20) \\[.5zh] 数学60は平均より上だが最高とはいえない,\ 国語60は最高の出来,\ 英語60は平均以下である. \\[.2zh] このように,\ 平均や標準偏差が異なるため,\ 点数そのものだけで各教科の実力を測ることは難しい. \\[.2zh] そこで,\ \bm{各教科の平均と標準偏差を統一(標準化)して比較する}ことが重要になるわけである. \\[1zh] 実は,\ 我々がすでに慣れ親しんでいる標準化の例がある.\ それこそがいわゆる\bm{偏差値}である. \\[.2zh] ただし,\ 単に標準化しただけでは(平均点)=(偏差値0)になってしまう. \\[.2zh] より多くの人が馴染めるように,\ (平均点)=(偏差値50)となるよう標準化したものを更に変換する. \\[.2zh] 結局,\ 偏差値は\ \bm{y=50+\bunsuu{x-\kyouyaku x}{s_x}\times10}\ という式で定義される. \\[.8zh] 3教科60点の\text A君の偏差値は数学55,\ 国語64,\ 英語45となり,\ 相対的な実力を知ることができる.
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