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2変量$x,\ y$に対して新たな変量$\bm{\textcolor{blue}{u=x+y}}$を定める. \\[.2zh] このとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{分散$\bm{{s_u}^2,\ {s_x}^2,\ {s_y}^2}$の間に成り立つ関係}}を考える. \\[2zh] 先に,\ より一般に$\textcolor{cyan}{u=ax+by}$のときに成り立つ\textbf{\textcolor{blue}{平均$\bm{\kyouyaku u}$と$\bm{\kyouyaku x,\ \kyouyaku y}$の関係}}を考えておく. 偏差$\bm{u_n-\kyouyaku u}$}}についても考えておく.
さて,\ 以上を踏まえて\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{u=x+y}$のときの$\bm{{s_u}^2}$}}を計算してみよう.において$s_x>0,\ s_y>0$を考慮すると次の関係が導かれる.変量$x$の分散を${s_x}^2=16$,\ 変量$y$の分散を${s_y}^2=4$,\ $x$と$y$の相関係数を正とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 新たな変量を$u=x+y$で定め,\ $u$の分散を${s_u}^2$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ ${s_u}^2$と${s_x}^2+{s_y}^2$の大小を比較せよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ ${s_u}^2$の取りうる値の範囲を求めよ. となることは理屈を理解した上で暗記しておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ 大小比較するときは差を計算する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 標準偏差\,s_x,\ s_y\,は常に正であることと相関係数r_{xy}>0\,であることから大小がわかる. \\[1zh] (2)\ \ 相関係数が常に\ \bm{-\,1\leqq r\leqq1}\ の値をとることを考慮すると\ 0<r_{xy}\leqq1\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを\ {s_u}^2\ (={s_x}^2+2r_{xy}s_xs_y+{s_y}^2)\ の範囲に順番に変換していけばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0<r_{xy}\leqq1\ の各辺に2s_xs_y\ を掛けると 0<2r_{xy}s_xs_y\leqq2s_xs_y \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに各辺に\ {s_x}^2+{s_y}^2\ を加えると {s_x}^2+{s_y}^2<{s_x}^2+2r_{xy}s_xs_y+{s_y}^2\leqq{s_x}^2+2s_xs_y+{s_y}^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうして\ {s_u}^2\ に関する不等式が導かれるので,\ s_x=4,\ s_y=2\ にも注意して代入する.