x軸正方向に速さ30m/sで動く640Hzの音源Sに向かって, x軸負方向に動く観測者Oが速さ20m/sで近づいている. x軸正方向に速さ10m/sの風が吹いており, 無風時の音速を340m/sとする.
(1) 観測者Oが聞く音の振動数f′[Hz]を求めよ.
(2) 観測者Oが聞く音の波長λ′[m]を求めよ.
風ありドップラー効果
(1) f′ = (V + w − vₒ) / (V + w − vₛ) f₀
= (340 + 10 − (−20)) / (340 + 10 − 30) × 640
= 370 / 320 × 640
= 740 Hz
(2) λ′ = (V + w − vₛ) / f₀
= (340 + 10 − 30) / 640
= 320 / 640
= 0.50 m
別解
λ′ = (V + w − vₒ) / f′
= (340 + 10 − (−20)) / 740
= 370 / 740
= 0.50 m
[補足]
(1) ドップラー効果の一般式は
f′ = (V − vₒ) / (V − vₛ) f₀
風が吹いて媒質(空気)全体が動く場合, 音速Vを音波の地面基準での速さに変えて公式を適用する.
(2) 音源の進行方向前方の波長の公式
λ′ = (V − vₛ) / f₀
において, VをV + wに置き換える.
(1)で求めたf′を用いる場合, λ′ = (V + w) / f′ としてしまうミスが多い.
波の基本式 v = fλ は, 同じ基準で測った速さ・振動数・波長の間で成り立つ.
f′は観測者が聞く振動数であるから, 速さも観測者からみた波の相対速度を用いる必要がある.
観測者Oの立場で見ると V + w − vₒ = f′λ′ となる.
混乱を避けるため, 波長は音源と媒質のみで決まる式で求めることを推奨する.
振動数f₀の音源Sがx軸正方向に速さvₛで進み, 観測者Oがx軸正方向に速さvₒで進んでいる. また, y軸正方向に速さwの風が吹いており, 無風時の音速をVとする.
(1) 時刻t = 0に音源Sから発生した音波の波面が, 時刻t = t₁にx軸と交わる点のx座標x₁ (> 0)を求めよ.
(2) 音源Sから観測者Oに向かって音が伝わる速さU(見かけの音速)を求めよ.
(3) 観測者Oが聞く音の振動数f′を求めよ.
(1) 時刻t = t₁での波面は, 中心が(0, wt₁), 半径がVt₁の円である.
x₁² + (wt₁)² = (Vt₁)² より
x₁ = √(V² − w²) t₁
(2) (1)より, x軸正方向への見かけの音速は
U = x₁ / t₁ = √(V² − w²)
(3)
f′ = (U − vₒ) / (U − vₛ) f₀
= (√(V² − w²) − vₒ) / (√(V² − w²) − vₛ) f₀
[補足]
風は媒質全体の一様並進運動であるため, 媒質に対しては波面は常に真円となる.
数学的には, 時刻t₁の瞬間の直角三角形に対して三平方の定理を用いるとx₁が求まる.
さらに, 時間t₁で割ることで, S→O方向の地面基準の音速(見かけの音速)が求められる.
