振動数f₀の観測者O, 音源S, 反射板Rは一直線上にこの順に並んでいる.
それぞれがx軸正方向に速さvₒ, vₛ, vᵣで動いており, 音速をVとする(V>vₒ, vₛ, vᵣ).
(1) 観測者Oが聞く直接音の波長λ₁と振動数f₁を求めよ.
(2) 観測者Oが聞く反射音の波長λ₂と振動数f₂を求めよ.
(3) 観測者Oが聞くうなりは毎秒何回か.
反射板ありドップラー効果
（TikZ図削除）
(1) 直接音はx軸負方向に進行するから, x軸負方向を正とすると
λ₁=(V-(-vₛ))/f₀=(V+vₛ)/f₀, f₁=(V-(-vₒ))/(V-(-vₛ))f₀=(V+vₒ)/(V+vₛ)f₀
(2) x軸正方向を正とし, 反射板Rが受け取る振動数をfᵣとすると fᵣ=(V-vᵣ)/(V-vₛ)f₀
反射音はx軸負方向に進行するから, x軸負方向を正とすると
λ₂=(V-(-vᵣ))/fᵣ=(V+vᵣ)/((V-vᵣ)/(V-vₛ)f₀)=( (V+vᵣ)(V-vₛ) )/( (V-vᵣ)f₀ )
f₂=(V-(-vₒ))/(V-(-vᵣ))fᵣ=( (V+vₒ)(V-vᵣ) )/( (V+vᵣ)(V-vₛ) )f₀
(3) f=|f₂-f₁|=|(V+vₒ)/(V+vᵣ)・(V-vᵣ)/(V-vₛ)-(V+vₒ)/(V+vₛ)|f₀
=(V+vₒ)f₀ | ( (V-vᵣ)(V+vₛ)-(V+vᵣ)(V-vₛ) )/( (V+vᵣ)(V-vₛ)(V+vₛ) ) |
= 2V(V+vₒ)|vₛ-vᵣ|/((V-vₛ)(V+vₛ)(V+vᵣ)) f₀ [回/s]
[(1) 音源Sから観測者Oへの向きを正として公式を適用する.
(2) 一旦, 反射板を観測者とみなして音源Sから受け取る波長と振動数を求めた後,
反射板を音源とみなして観測者Oが聞く音の波長と振動数を求める.
反射板が静止している場合(vᵣ=0), λ₂=(V-vₛ)/f₀より, 入射音と反射音の波長は等しい.
要するに, 反射板が静止している場合, 入射音と同じ波が反射する.
(3) うなりの振動数の公式を利用して計算するだけである.
V>vₒ, vₛ, vᵣ>0より, |vₛ-vᵣ|以外の絶対値ははずせる.
|f₂-f₁|の正負(f₂とf₁の大小関係)は, vₛとvᵣの大小関係で決まる.
なお, 同様にして, λ₂とλ₁の大小関係もvₛとvᵣの大小関係で決まることがわかる.
|λ₂-λ₁|=|( (V+vᵣ)(V-vₛ) )/( (V-vᵣ)f₀ )-(V+vₛ)/f₀|
=1/f₀ | ( (V+vᵣ)(V-vₛ)-(V-vᵣ)(V+vₛ) )/(V-vᵣ) |
=2V|vᵣ-vₛ|/((V-vᵣ)f₀) ]
音速をV [m/s]とする. コウモリBはx軸正方向に一定の速さv_b [m/s]で運動し, 獲物Pもx軸正方向に一定の速さv_p [m/s]で運動する(V>v_b, v_p). 時刻t=0 [s]において, 獲物PはコウモリBの前方にあり, その距離はd₀ [m]である. また, 時刻t=0 [s]にコウモリは周波数f₀ [Hz]の超音波の放出を開始し, 時間T [s]だけ発して止める(パルス送信). この超音波は獲物Pで反射し, コウモリBにまで戻る.
(1) 超音波の波長λ [m]とパルス波の長さℓ [m]を求めよ.
(2) パルスの先端が獲物Pに到達する時刻t₁ [s]を求めよ.
(3) 時刻t₁ [s]におけるコウモリBと獲物Pの距離d₁ [m]を求めよ.
(4) パルスの終端が獲物Pに到達する時刻t′₁ [s]を求めよ.
(5) 反射音がコウモリBに届くまでの往復時間Δt [s]を求めよ.
(6) 時刻t₂ [s]におけるコウモリBと獲物Pの距離d₂ [m]を求めよ.
(7) コウモリBが受け取る反射音の周波数f_e [Hz]を求めよ.
(8) コウモリBが反射音を受け取っている時間ΔT_e [s]を求めよ.
（TikZ図削除）
(1) 時刻t=Tにおける位置関係より λ=(V−v_b)/f₀ [m], ℓ=(V−v_b)T [m]
(2) 時刻t=t₁における位置関係より Vt₁=d₀+v_p t₁
∴ t₁=d₀/(V−v_p) [s]
(3) 時刻t=t₁における位置関係より
d₁=d₀+v_p t₁−v_b t₁
=d₀+(v_p−v_b)×d₀/(V−v_p)
=(V−v_b)/(V−v_p) d₀ [m]
(4) 時刻t=Tとt=t′₁における位置関係より v_b T+V(t′₁−T)=d₀+v_p t′₁
∴ t′₁=( d₀+(V−v_b)T )/(V−v_p) [s]
(5) 時刻t=t₁とt=t₂における位置関係より Vt₁=v_b t₂+V(t₂−t₁)
∴ Δt=t₂= (2V/(V+v_b)) t₁ = 2Vd₀/((V+v_b)(V−v_p)) [s]
(6) 時刻t=t₂における位置関係より
d₂=d₀+v_p t₂−v_b t₂
=d₀+(v_p−v_b)t₂
=( (V−v_b)(V+v_p) )/( (V−v_p)(V+v_b) ) d₀ [m]
(7) 獲物Pが受け取る周波数f₁は
f₁=(V−v_p)/(V−v_b) f₀
コウモリBが受け取る周波数は
f_e=(V+v_b)/(V+v_p) f₁
=( (V+v_b)(V−v_p) )/( (V−v_b)(V+v_p) ) f₀ [Hz]
(8) 超音波の波の個数は保存されるから f₀T=f_e ΔT_e
∴ ΔT_e=(f₀/f_e)T
=( (V−v_b)(V+v_p) )/( (V+v_b)(V−v_p) ) T [s]
[
コウモリやイルカが超音波の反響によって空間を把握する現象をエコーロケーション(反響定位)という.
その原理のドップラー効果の本質は, 音源・観測者・波面の位置関係の時間変化を正確に追うことにある.
本問では, 以下の6つの瞬間の図を描けるかが鍵となる.
1. t=0 コウモリB: 超音波の放出開始
2. t=T コウモリB: 超音波の放出終了
3. t=t₁ 獲物P: 超音波の反射開始(先端が到達)
4. t=t′₁ 獲物P: 超音波の反射終了(終端が到達)
5. t=t₂ コウモリB: 反射音の受信開始(先端が到達)
6. t=t′₂ コウモリB: 反射音の受信終了(終端が到達)
(1) t=0に放出開始された超音波の先端は音速Vで進行するため, t=Tで距離VTだけ進んでいる.
この間にコウモリBは距離v_b Tだけ進むから, パルス波の長さℓはVT−v_b Tである.
(4) コウモリBが終端を放出した時刻t=Tと, 終端が獲物Pに到達する時刻t=t′₁に着目する.
超音波の終端は放出直後から音速Vで進行し, 時間t′₁−T後に獲物Pに到達する.
(5) 時刻t=0に放出を開始しているから, t=t₂は「放出開始から受信開始までの時間」に等しい.
また, 反射は超音波の先端が獲物Pに到達した瞬間(t=t₁)から始まるから, 反射音の先端は
時刻t=t₁における獲物Pの位置を出発し, 逆向きに距離V(t₂−t₁)だけ進んでいる.
(7) まず, 獲物Pを観測者とみなし, 受け取る周波数f₁を求める(右向きを正).
次に, 獲物Pを音源, コウモリBを観測者とみなし, 受け取る周波数f_eを求める(左向きを正).
(8) 波を受け取る時間を求めるときは, 波の数の保存に着目するとよい.
ΔT_e=t′₂−t₂として求めることも可能だが, 計算が煩雑になる.
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