波の自由端反射と固定端反射

波の自由端反射と固定端反射 自由端反射　　媒質が自由に振動できる端での反射. 位相は変化せず,変位の符号は変わらず反射する. 固定端反射　　媒質が振動できない端での反射. 位相が逆転し(πずれる),変位は±逆転して反射する. 入射波が正弦波ならば,自由端は腹,固定端は節となる定常波ができる. 実際に目に見えるのは,進行波そのものではなく,入射波と反射波が重なり合って生じた合成波である. 反射しても振幅,波長,速さは変わらないため,正弦波の場合は定常波ができる. 固定端に上向きの入射波が到達すると,ひもは固定端に上向きの力を及ぼす. 作用反作用の法則により,固定端は下向きの力をひもに及ぼし,下向きに変位した反射波が生じる. その結果,反射波は位相が逆転し,固定端では入射波と反射波の変位が打ち消し合って常に節となる. 一方,自由端では反作用の力が存在しないため,入射波と同じ向きの変位をもつ反射波が生じる. このため,反射波の位相は逆転せず,自由端では入射波と反射波の変位が強め合って常に腹となる. 図は速さ1.0m/sで壁に向かって進む正弦波の時刻t=0[s]における波形である. 壁が自由端の場合と固定端の場合について,t=1.0,2.0,3.0,4.0[s]における合成波の波形を描け.また,t=4.0s以降の定常波の腹の位置(0≤x≤4.0)を答えよ. 自由端反射の作図手順 ① 入射波の透過波を描く. ② 位相は変化しないので,透過波を自由端を軸に線対称移動して反射波を描く. ③ 入射波と反射波を重ね合わせ,自由端が腹となる合成波を描く. 固定端反射の作図手順 ① 入射波の透過波を描く. ② 位相が逆転するので,透過波を固定端を軸に点対称移動して反射波を描く. ③ 入射波と反射波を重ね合わせ,固定端が節となる合成波を描く. (1) y₁(x,t)=A sin2π(t/T-x/λ)　　[ y(0,t)=A sin(2π/T)tが前提の公式 ] 反射という現象を数学的にとらえるとき,対称点を考えるのが本質的である. 位置xの壁Lに関する対称点はL+(L-x)=2L-xである. 自由端では反射しても変位は変わらないため,位置xでの反射波の変位は,位置2L-xでの入射波の変位と等しい. よって,入射波のxを2L-xに変えるだけでよく,y₂(x,t)=y₁(2L-x,t)である. 正弦波の式の導出と同様に,時間遅れの考え方でも導ける. 位置xでの時刻tの反射波の変位は,時刻tの(2L-x)/v前のx=0での入射波の変位に等しい. 固定端では,自由端と比べて変位が逆転する点だけが異なるため,自由端反射の式に-を付ければよい. (2) 自由端　Y(x,t)=A sin2π(t/T-x/λ)+A sin2π(t/T-(2L-x)/λ) =2A sin2π(t/T-L/λ) cos(2π/λ)(L-x) [ 和積公式を利用した ] = 振幅項 2A cos(2π/λ)(L-x) 振動項 sin2π(t/T-L/λ) 固定端　Y(x,t)=A sin2π(t/T-x/λ)-A sin2π(t/T-(2L-x)/λ) =2A cos2π(t/T-L/λ) sin(2π/λ)(L-x) [ 和積公式を利用した ] = 振幅項 2A sin(2π/λ)(L-x) 振動項 cos2π(t/T-L/λ) [ sinα+sinβ=2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2)　　sinα-sinβ=2 cos((α+β)/2) sin((α-β)/2) (α+β)/2=(2π(t/T-x/λ)+2π(t/T-(2L-x)/λ))/2=2π(t/T-L/λ) (α-β)/2=(2π(t/T-x/λ)-2π(t/T-(2L-x)/λ))/2=(2π/λ)(L-x) 2変数のf(x),g(t)への分離は,波形と時間変化が独立である(定常波である)ことを意味する. 必要ならば,「定常波の式」の項を復習してほしい. ] (3) 定常波の変位がすべてのxで0になる時刻を整数nを用いて表せ. 自由端　振動項 sin2π(t/T-L/λ)=0 2π(t/T-L/λ)=nπより t=(L/λ+n/2)T 固定端　振動項 cos2π(t/T-L/λ)=0 2π(t/T-L/λ)=(n+1/2)πより t=(L/λ+n/2+1/4)T [ g(t)=0のとき,xの値によらずy=0となる. sinθ=0となるのは θ=…,-2π,-π,0,π,2π,…=nπ (n:整数) cosθ=0となるのは θ=…,-3/2π,-π/2,0,π/2,3/2π,…=(n+1/2)π (n:整数) ] (4) L=2λのとき,0≤x≤2λの範囲にできる腹の位置を答えよ. 自由端　L=2λのとき 振幅項 cos(2π/λ)(2λ-x)=±1 (2π/λ)(2λ-x)=nπより x=(4-n/2)λ ∴ 腹の位置 x=0,1/2λ,λ,3/2λ,2λ (n=8,7,6,5,4) 固定端　L=2λのとき 振幅項 sin(2π/λ)(2λ-x)=±1 (2π/λ)(2λ-x)=(n+1/2)πより x=(7/4-n/2)λ ∴ 腹の位置 x=1/4λ,3/4λ,5/4λ,7/4λ (n=3,2,1,0) [ 振幅項|f(x)|が最大の位置に腹が現れる. cosθ=±1となるのは θ=…,-2π,-π,0,π,2π,…=nπ (n:整数) sinθ=±1となるのは θ=…,-3/2π,-π/2,0,π/2,3/2π,…=(n+1/2)π (n:整数) 0≤x≤2λとなるような整数nを考えればよい. 0≤4-n/2≤2より 4≤n≤8　　　0≤7/4-n/2≤2より -1/2≤n≤7/2 ]