振動数 f₀ [Hz] の音を出す音源Sが, 座標平面上の点Oを中心とする半径 R [m] の円周上
を一定の速さ vₛ [m/s] で等速円運動している. 観測者Pは点(d, 0) の
位置に静止している. 音速をV [m/s] とし, 音源Sの位置を偏角θを用いて表す
(→OP の向きをθ=0, 反時計回りを正とする).
(1) 音源Sがθ=0, π/2, π, 3π/2の位置で放出した音について, 観測者Pが聞く振動数
f(0), fπ/2, fπ, f3π/2 を求めよ.
(2) 観測者Pがf(0)の音を聞いてからfπの音を聞くまでの時間Δtを,
(3) 観測者Pが聞く振動数の最大値 fmax, 最小値 fmin とその位置について考える.
ただし, 音源の位置をSθ, ∠OPSθ=φ とし,
△OPSθに正弦定理を適用し, 音源の速度 vₛ の PSθ 方向成分を vₛ, d, R, φ
を用いて表して考えよ.
(4) 横軸を偏角θ, 縦軸を観測者Pが聞く振動数f′とするグラフを,
音源が1周する間について概形を描け.
音源が円運動するドップラー効果
(1) θ=0, πのとき vₛの視線方向の成分は0であるから f(0)=fπ=f₀ [Hz]
θ=π/2における音源Sの位置をSπ/2とし, ∠OPSπ/2=φとする.
fπ/2 = V/(V-(-vₛcosφ)) f₀ = V/(V + (d/√(d²+R²)) vₛ) f₀ [Hz]
f3π/2 = V/(V – vₛcosφ) f₀ = V/(V – (d/√(d²+R²)) vₛ) f₀ [Hz]
(2) 音源Sがθ=0とθ=πの位置に来たときの時刻をt₀, tπとすると tπ-t₀=πR/vₛ
音源Sがθ=0とθ=πの位置で放出した音が観測者Pに届く時刻をt′₀, t′πとする.
t′₀=t₀+(d-R)/V, t′π=tπ+(d+R)/V
Δt=t′π-t′₀=tπ+(d+R)/V-(t₀+(d-R)/V)=(tπ-t₀)+2R/V=πR/vₛ+2R/V [s]
t′₀=t₀+(R-d)/V, t′π=tπ+(R+d)/V
Δt=t′π-t′₀=tπ+(R+d)/V-(t₀+(R-d)/V)=(tπ-t₀)+2d/V=πR/vₛ+2d/V [s]
[補足]
音源Sが円運動するドップラー効果は, 各瞬間においては実質的に斜めドップラー効果である.
音源から観測者へ向かう直線方向(視線方向)の速度成分を用いて公式 f′=(V-vₒ)/(V-vₛ) f₀ を適用する.
このとき, 常に音源から観測者の方向を正とする.
直角三角形 OPSπ/2 において cosφ=OP/Sπ/2P=d/√(d²+R²)
[補足]
音源Sの移動時間と, 音源Sから放出された音が観測者Pに到達するまでの時間を区別して考える.
音源Sがθ=0の位置からθ=πの位置へ移動するのに要する時間は tπ-t₀=(半円周の長さ)/(音源Sの速さ)
θの位置で音源Sから放出された音が観測者Pに到達するまでの時間は (SθPの距離)/(音速)
(3) (a) のとき, 音源Sと観測者Pを結ぶ直線が円の接線となるとき,
視線方向の速度成分の絶対値が最大になる.
このとき, △OSP は直角三角形となるから, cosθ=R/d である.
視線方向成分が +vₛ (接近)となる位置で fmax=V/(V-vₛ) f₀ [Hz]
視線方向成分が -vₛ (遠ざかる)となる位置で fmin=V/(V+vₛ) f₀ [Hz]
(b) のとき ∠OSθP = π-(θ+φ)
よって, vₛのPSθ方向の成分の大きさは vₛ sin{π-(θ+φ)}
ここで, △OPSθに正弦定理を用いると R/sinφ = d/sin{π-(θ+φ)}
よって vₛ sin{π-(θ+φ)} = (d/R) vₛ sinφ ≤ (d/R) vₛ
sinφ=1 (φ=π/2) のとき, つまり cosθ=d/R のとき等号成立.
視線方向成分が +(d/R) vₛ (接近)となる位置で fmax = V/(V-(d/R)vₛ) f₀ [Hz]
視線方向成分が -(d/R) vₛ (遠ざかる)となる位置で fmin = V/(V+(d/R)vₛ) f₀ [Hz]
[補足]
観測者Pが円の内側にいるため, 点Pから円に引いた接線は存在しない.
よって, 視線方向の速度成分の大きさは必ず |vₛ| よりも小さくなる.
vₛの視線方向の速度成分の最大値とそのときの音源Sの位置は, 正弦定理を用いると幾何的に求まる.
φが直角となるとき, vₛの視線方向の速度成分は
vₛ sin{π-(θ+φ)} = vₛ sin(π/2-θ) = vₛ cosθ
さらにこのとき, △OSPが直角三角形となることにより, cosθ=d/R が成り立つ.
(4)
fmax = V/(V-vₛ) f₀, fmin = V/(V+vₛ) f₀
fmax = V/(V-(d/R)vₛ) f₀, fmin = V/(V+(d/R)vₛ) f₀
よって, 変動幅が大きい.
[補足]
(1)より, f(0)=fπ=f2π=f₀ である.
(3)より, 振動数が最小となるθは 0<θ<π/2 の範囲,
振動数が最大となるθは 3π/2<θ<2π の範囲に存在する.
また, f₀はfmaxとfminの中央よりも下側にある.
fmax-f₀ = vₛ/(V-vₛ) f₀ > f₀-fmin = vₛ/(V+vₛ) f₀
fmax-f₀ = ((d/R)vₛ)/(V-(d/R)vₛ) f₀ > f₀-fmin = ((d/R)vₛ)/(V+(d/R)vₛ) f₀
