ドップラー効果の公式と導出

ドップラー効果 音源や観測者が動くことで, 音源と異なる振動数の波が観測される現象. 音源Sのみが動く場合のドップラー効果 図は, 音源Sが振動数 f₀ [Hz] の音波を発しながら, 観測者O前に向かって右向きに 速度 vₛ [m/s] で進み, 時間 t [s] 後に位置 S′ に到達したときの様子である. 一旦音源から出た音波は, 音源の速度 vₛ [m/s] に関係なく, 音速 V [m/s] で広がる. その結果, 進行方向前方では波長が短くなり, 後方では波長が長くなる. 音速が一定であるため, 進行方向前方では振動数が大きく, 後方では振動数が小さくなる. 音源の進行方向前方の波長 λ′前 = (S′A前 の距離 [m]) / (波の数 [個]) = (Vt − vₛt) / (f₀t) = (V − vₛ) / f₀ 音源前方の観測者O前が聞く振動数 f′前 = V / λ′前 = V / (V − vₛ) · f₀ 音源の進行方向後方の波長 λ′後 = (S′A後 の距離 [m]) / (波の数 [個]) = (Vt + vₛt) / (f₀t) = (V + vₛ) / f₀ 音源後方の観測者O後が聞く振動数 f′後 = V / λ′後 = V / (V + vₛ) · f₀ 【まとめ】 音源の進行方向前方の波長　λ′ = (V − vₛ) / f₀ 音源前方の観測者が聞く振動数　f′ = V / (V − vₛ) · f₀ ※音源後方を考える場合, vₛ を −vₛ に置き換える. 観測者が音源前方にいる場合, V > V − vₛ より f′ > f₀ となるから, 音は高くなる. 観測者が音源後方にいる場合, V < V + vₛ より f′ < f₀ となるから, 音は低くなる. 補足 音源の S は Source, 観測者の O は Observer に由来する. 音源が動く場合のドップラー効果は, 音波の速度が音源の速度によらず媒質で決まることが原因で生じる. 音源の移動に伴って位置 0〜5 で生じた円形波はすべて音速 V で広がり, 同一時刻に 0′〜5′ に到達する. 音源(円の中心)が移動しているため, 移動方向前方では円の間隔が詰まり, 後方では間隔が空く. つまり, 前方では波長が圧縮されて短くなり, 後方では波長が引き延ばされて長くなる. また, 時間 t の間に音源から出る波の数は常に f₀ [個/s] × t [s] = f₀t 個であり, 前方・後方で等しい. よって, 時間 t の間の 波面の進行距離, 音源の進行距離, 音源から出た波の数 の関係から, 波長が導かれる. さらに, 波の基本公式 V = fλ を用いて振動数 f も求められる. 前方・後方の式は本質的に同じで, 進行方向を正とすると, 後方は音源の速度を負として統一的に扱える. 観測者Oのみが動く場合のドップラー効果 図は, 静止音源Sから出た振動数 f₀ [Hz] の音波が 一定の波長 λ₀ = V / f₀ [m] で広がる 中を, 観測者Oが速度 vₒ [m/s] で進み, 時間 t [s] 後に位置 O′ に到達したときの様子である. 観測者Oが動くと, 時間 t の間に受け取る(観測者を通過する)波の数が f₀t から変化する. 波長が一定であるため, 観測者Oが音源Sから遠ざかる場合は振動数が小さく, 音源Sに近づく場合は振動数が大きくなる. 音源Sから遠ざかる観測者O′遠が受け取る波の数 f′遠 t = (O′遠A の距離 [m]) / (波長 [m]) = (Vt − vₒt) / λ₀ 観測者O′遠が聞く振動数 f′遠 = (V − vₒ) / λ₀ = (V − vₒ) / V · f₀ 音源Sに近づく観測者O′近が受け取る波の数 f′近 t = (O′近A の距離 [m]) / (波長 [m]) = (Vt + vₒt) / λ₀ 観測者O′近が聞く振動数 f′近 = (V + vₒ) / λ₀ = (V + vₒ) / V · f₀ 【まとめ】 音源から遠ざかる観測者が聞く振動数 f′ = (V − vₒ) / V · f₀ ※音源に近づく観測者を考える場合, vₒ を −vₒ に置き換える. 観測者が音源から遠ざかる場合, V > V − vₒ より f′ < f₀ となるから, 音は低くなる. 観測者が音源に近づく場合, V < V + vₒ より f′ > f₀ となるから, 音は高くなる. 音源Sと観測者Oの両方が動くドップラー効果 音源の運動による波長の変化と観測者の運動による相対速度の変化を重ね合わせることで, 両方が動く場合の一般式を作成することができる. 振動数 f₀ [Hz] の音源Sが速度 vₛ [m/s] で動くとき, 進行方向前方の波長は λ′前 = (V − vₛ) / f₀ この波を観測者Oが速度 vₒ [m/s] で音源Sから遠ざかる方向に動きながら受け取るとき, 観測される振動数 f′遠 [Hz] は f′遠 = (V − vₒ) / λ′前 = (V − vₒ) / (V − vₛ) · f₀ 【一般式】 f′ = (V − vₒ) / (V − vₛ) · f₀ ※ vₒ, vₛ は常に音源Sから観測者Oの向き(S → O)を正とする. f′ [Hz] : 観測者が聞く音の振動数 f₀ [Hz] : 音源の振動数 V [m/s] : 音速 vₒ [m/s] : 観測者の速度 (vₒ < V) vₛ [m/s] : 音源の速度 (vₛ < V) 観測者と音源が離れる場合, f′ < f₀ となるから, 音は低くなる. 観測者と音源が近づく場合, f′ > f₀ となるから, 音は高くなる. 音源Sが直線上を速さ 20.0 m/s で移動しつつ, 振動数 400 Hz の音を 19.0 s 間鳴らした. この音源Sに向かって, 観測者Oが速さ 40.0 m/s で近づいている. 空気中の音速を 340 m/s とする. (1) 観測者Oが聞く音の波長 λ′ を求めよ. (2) 観測者Oが聞く音の振動数 f′ を求めよ. (3) 観測者Oはこの音を何秒間聞くことになるか. (1) λ′ = (V − vₛ) / f₀ = (340 − 20) / 400 = 320 / 400 = 0.80 m (2) f′ = (V − vₒ) / (V − vₛ) · f₀ = (340 − (−40)) / (340 − 20) × 400 = 380 / 320 × 400 = 475 Hz (3) 400 Hz × 19.0 s = 475 Hz × t′ より t′ = 16.0 s 【補足】 ドップラー効果の基礎的な問題ならば, 公式を適用するだけである. (1) 音の波長は音源Sの速度 vₛ で決まり, 観測者Oの速度 vₒ には依存しない. (2) 音源Sと観測者Oが近づくため, f′ > f₀ となるはずであることを予想した上で計算する. (3) 時間を求める場合, (音源Sから出た波の数 f₀t) = (観測者Oが受け取る波の数 f′t′) を立式する. 【一般設定問題】 音源Sが x 軸正方向に速さ vₛ [m/s] で移動しながら, 振動数 f₀ [Hz] の音を T [s] 間鳴らした. 観測者Oは x 軸負方向に速さ vₒ [m/s] で音源Sに向かって近づいている. 音源Sが音を鳴らし始めた時刻を t = 0 s とおいて, 音源Sは x = 0 m, 観測者Oは x = L m の位置にあった. 空気中の音速を V [m/s] とする. ただし, V > vₛ とする. (1) 観測者Oが音を聞き始める時刻 t₁ [s] と, そのとき観測者Oが受け取る音の波長 λ₁ [m] を求めよ. (2) 音源Sが放出した音波全体の長さ ℓ [m] を求めよ. (3) 観測者Oが音を聞き終える時刻 t₂ [s] を求めよ. (4) 観測者Oが音を聞いている時間 Δt を求め, これを利用して観測者Oが聞く音の振動数 f′ [Hz] を求めよ. (1) 時刻 t = t₁ における位置関係より Vt₁ + vₒt₁ = L ∴ t₁ = L / (V + vₒ) [s] 時刻 t = 0 から t = t₁ までに音源が放出した波は f₀t₁ 個であるから λ₁ = (Vt₁ − vₛt₁) / (f₀t₁) = (V − vₛ) / f₀ [m] (2) 時刻 t = T における位置関係より ℓ = VT − vₛT = (V − vₛ)T [m] 別解 音源が放出した波は f₀T 個であるから, (1)より ℓ = λ₁ × f₀T = (V − vₛ)T [m] (3) 時刻 t = T と t = t₂ における位置関係より vₛT + V(t₂ − T) + vₒt₂ = L よって t₂ = (L + (V − vₛ)T) / (V + vₒ) [s] (4) (1), (2) より Δt = t₂ − t₁ = (L + (V − vₛ)T) / (V + vₒ) − L / (V + vₒ) = (V − vₛ) / (V + vₒ) · T [s] 音源が出した波の数と観測者が受け取る波の数は等しいから f′Δt = f₀T よって f′ = f₀T / Δt = f₀T / ( (V − vₛ) / (V + vₒ) · T ) = (V + vₒ) / (V − vₛ) · f₀ [Hz] 【最終まとめ】 波長や振動数の公式を丸暗記しているだけでは, 公式の導出や時刻・位置を問う問題に対応できない. ドップラー効果の本質は, 音源・観測者・波面の位置関係の時間変化を正確に追うことにある. 特に重要な以下の 4 つの瞬間の図を描けるかで, ドップラー効果の理解度がわかる. t = 0 　音源S：音波の放出開始 t = t₁ 　観測者O：音波の先端が到達 t = T 　音源S：音波の放出終了 t = t₂ 　観測者O：音波の終端が到達 (1) 音波は, 音源Sの速度とは無関係に音速Vで広がる. よって, t = 0 に x = 0 で音源Sから出た音波の先端は, t = t₁ には位置 x = Vt₁ に到達する. 一方, 観測者Oは t = t₁ に位置 x = L − vₒt₁ にいるため, Vt₁ = L − vₒt₁ が成り立つ. また, 音源Sは位置 x = vₛt₁ にいるため, t = 0 から t = t₁ までに音源が放出した f₀t₁ 個の波は, x = vₛt₁ から x = Vt₁ の区間に入っている. これにより, 波長 λ₁ が求まる. (2) t = t₁ の時点ではまだ音波の終端が放出されておらず, 音波の先端と終端の位置関係はわからない. 音波全体の長さ ℓ を求めるには, 音源Sが音の放出を終了する時刻 t = T に着目する. (3) t = 0 に音源Sから出た音波の先端は, 音波の放出終了時刻 t = T には位置 x = VT に到達する. 音源Sからの放出終了後も音波は音速Vで進み続け, t = t₂ に音波の終端が観測者Oに到達する. この位置は, 音源Sが音波の放出を終了した位置 x = vₛT から, 時間 t₂ − T に相当する距離 V(t₂ − T) だけ進んだ位置である. 音源Sの進行距離 vₛT, 観測者Oの進行距離 vₒt₂, 音波の終端の進行距離 V(t₂ − T) を 初期の位置関係 x = 0 と x = L に対応させることで 時刻 t₂ が決定される. (4) 以上の図形的考察と 波の数の保存 から, ドップラー効果の公式が自然に導かれる. 観測者が聞く振動数 f′ は, 音源と観測者の初期距離 L には依存せず, 音源・観測者・波の速さの相対関係で決まる. 誘導を用いない一般的な導出では, 観測者Oは波に向かって速さ vₒ で進むため, 波面がOに近づく相対速度は V + vₒ となる. f′ = (観測者Oと波面の相対速度) / (波長) = (V + vₒ) / λ₁ = (V + vₒ) / ( (V − vₛ) / f₀ ) = (V + vₒ) / (V − vₛ) · f₀ [Hz]