気柱の固有振動
気柱（空気の柱）が管内で共鳴し，縦波の定常波が生じる現象。
例：管楽器
閉管内の気柱の固有振動
閉口端（管底）では固定端反射が起こり，常に節となる。
開口端（管口）では自由端反射が起こり，常に腹となる。
その結果，閉管では奇数倍の倍振動のみが生じる。
基本振動（m＝1）
ℓ＝1・λ₁／4
→ λ₁＝4ℓ
f₁＝V／(4ℓ)
3倍振動（m＝3）
ℓ＝3・λ₃／4
→ λ₃＝4ℓ／3
f₃＝3V／(4ℓ)＝3f₁
5倍振動（m＝5）
ℓ＝5・λ₅／4
→ λ₅＝4ℓ／5
f₅＝5V／(4ℓ)＝5f₁
一般化すると
ℓ＝m×(λₘ／4)
m 倍振動の波長
λₘ＝4ℓ／m＝λ₁／m（m＝1，3，5，…）
m 倍振動の振動数
fₘ＝V／λₘ＝m・V／(4ℓ)＝m f₁（m＝1，3，5，…）
［補足説明］
気柱が共鳴すると，管内を伝わる縦波は両端の固定端または自由端で反射を繰り返し，逆向きに進む振幅・波長・速さが等しい波が往復して重なり合うため，定常波が形成される。
閉管では，両端の境界条件のため，管の長さに 1／4 波長（節から腹）がちょうど奇数個だけ収まるような特定の波長（固有振動数）のときにのみ，反射波が強め合って安定した定常波が存在できる。
固有振動数以外の振動数の波では，反射のたびに位相が少しずつずれていき，全体として打ち消し合う。
音波は縦波なので，図は縦波（媒質の振動方向が波の進行方向と平行）の横波表示である。
実際には，節の位置では変位は常に 0 であり，腹の位置では最大の変位を示している。
閉管内の気柱の圧力変化（密度変化）
横波表示は，媒質の変位（x 軸方向）を反時計回りに 90° 回転して得られる。
縦波の密部は，横波表示の山→谷の境界（y＝0 かつ傾き負）に対応する（「ミ」の傾き）。
縦波の疎部は，横波表示の谷→山の境界（y＝0 かつ傾き正）に対応する（「ソ」の傾き）。
定常波であるから波形は進行せず，変位の横波表示は半周期 T／2 ごとに上下に往復する。
よって，気柱内の空気は，変位の節の位置で密度変化が最大となり，疎密が周期的に入れ替わる。
一方，変位の腹の位置では密度変化は生じず，圧力は常に大気圧と等しい。
このように，媒質の変位と管内の圧力変化との間には位相のずれが存在する（変位の腹＝圧力の節）。
なお，音叉は腕が広がると周囲の空気を圧縮して密を生じ，腕が狭まると疎を生じる。
開管内の気柱の固有振動
開口端（管口）では自由端反射が起こり，常に腹となる。
その結果，開管ではすべての倍振動が生じる。
基本振動（m＝1）
ℓ＝1・λ₁／2
→ λ₁＝2ℓ
f₁＝V／(2ℓ)
2倍振動（m＝2）
ℓ＝2・λ₂／2
→ λ₂＝ℓ
f₂＝2V／(2ℓ)＝2f₁
3倍振動（m＝3）
ℓ＝3・λ₃／2
→ λ₃＝2ℓ／3
f₃＝3V／(2ℓ)＝3f₁
一般化すると
ℓ＝m×(λₘ／2)
m 倍振動の波長
λₘ＝2ℓ／m＝λ₁／m（m＝1，2，3，…）
m 倍振動の振動数
fₘ＝V／λₘ＝m・V／(2ℓ)＝m f₁（m＝1，2，3，…）
［補足説明］
開管では，両端の境界条件のため，管の長さに 1／2 波長（腹から腹）がちょうど整数個だけ収まるような特定の波長（固有振動数）のときにのみ，反射波が強め合って安定した定常波が存在できる。
開口端補正 Δx
管口から実際の変位の腹の位置までの長さ。
狭い管内から広い空間へ放出された空気は，空気の質量（慣性）のために勢い余って膨張しすぎる。
膨張しすぎた部分は周囲より低圧（疎）となり，外気により管内へ押し戻される（開口端における反射）。
この結果，変位の腹（圧力の節）は管口より外側に位置する。これを開口端補正という。
問題で「開口端補正を無視する」と明記されていない場合，常に開口端補正を考慮する必要がある。
また，特に断りがない限り，開口端補正は一定値と考えてよい（管の直径で決まる）。
［例題］
図のように，管の中に位置を変えられるピストンが入っている。
管口の近くの音源から音を鳴らしながらピストンを管口（距離 0 cm）から右側へゆっくり動かしたところ，
ℓ₁＝24.0 cm，ℓ₂＝74.0 cm の位置で 1 回目と 2 回目の共鳴が起こった。
空気中の音速 V＝340 m/s とする。
(1) 音波の波長 λ［m］と振動数 f［Hz］を求めよ。
(2) 開口端補正 Δx［cm］を求めよ。
(3) 2 回目の共鳴時，管内の疎密変化が最も激しい位置は管口から何 cm か。
(4) ℓ₂ の位置で振動数を大きくしたとき，次に起こる共鳴の振動数 f′［Hz］を求めよ。
(5) 室温を 10 ℃ 上げたとき，同じ共鳴状態を保つための振動数 f″［Hz］を求めよ。
(6) ピストンを除き開管としたとき，n 倍振動となる管の長さ ℓₙ［cm］を Δx と n で表せ。
(1) 閉管の連続する共鳴位置の差は λ／2
よって λ＝2(ℓ₂−ℓ₁)＝2(74.0−24.0) cm＝100 cm＝1.00 m
f＝V／λ＝340／1.00＝340 Hz
(2) 1 回目の共鳴は基本振動
ℓ₁＋Δx＝λ／4
Δx＝25.0−24.0＝1.00 cm
(3) 疎密変化が最も激しい位置（圧力の腹）は変位の節
管口から 24.0 cm，74.0 cm
(4) 次は 5 倍振動
λ′＝4／5(ℓ₂＋Δx)＝4／5(75.0 cm)＝60.0 cm
f′＝340／0.600＝567 Hz
(5) 音速 V″＝331.5＋0.6t より
V″＝346 m/s
f″＝(V″／V)f＝346 Hz
(6) 開管では
ℓₙ＋2Δx＝n・(λ／2)
λ＝100 cm
ℓₙ＝50n−2Δx［cm］
(1),(2) 気柱の振動の問題で最も重要なのは, 状況に応じた図を正しく描けるかどうかである.
m倍振動の波長や振動数を公式として暗記していても, 応用は利かない.
その都度図を描き, 腹と節の位置を確認して立式することが重要である.
図示する際には, 何が一定で, 何が変化しているのかに注意する必要がある.
本問では, 1回目の共鳴と2回目の共鳴で音源の振動数と音速が一定であるから,
V = fλ より, 波長 λ も一定である.
距離 0 cm からピストンを動かしているため,
1回目の共鳴が基本振動, 2回目の共鳴が3倍振動となる.
さらに開口端補正を考慮すると, 図示のような状態になる.
ピストンの位置が変化したのであり, 波長(腹・節の位置)は変化していないことに注意してほしい.
波長を読み取る際, 本問のように開口端補正がある場合には,
ℓ₁ = λ/4 が成立しないことに注意する.
そこで, 1回目と2回目の共鳴(ピストン)位置の差に着目すると,
その差は開口端補正に関係なく λ/2 であり, 波長 λ を求めることができる.
波長 λ が求まれば, 1回目の共鳴位置から開口端補正を求めることができる.
管の長さや開口端補正は cm, 音速は m/s で表すことが多いため,
単位の取り扱いにも十分注意する必要がある.
(4) V = fλ より, 音速が一定のとき, 音源の振動数が変化すれば波長が変化する.
3倍振動の次に何倍振動が生じるかは, 波長が長くなるか短くなるかを考えて判断する.
もし音源の振動数を小さくした場合, 波長は長くなるため,
ℓ₂ の位置では基本振動が生じる.
(5) V = 331.5 + 0.6t は, 数学的には V–t 図における傾き 0.6 の直線であり,
t が 10 増加すると V は 6 増加することを意味している.
すなわち, 初めの室温を t₁ とすると,
V = 331.5 + 0.6t₁, V″ = 331.5 + 0.6(t₁ + 10) を連立して考えただけである.
ピストンの位置を固定して同じ共鳴状態を保つためには,
波長が変化しないことが条件となる.
(6) 開管の場合についても, 図を描いて考える必要がある.
参考として開管の2倍振動の図を示した.
開管の2倍振動はちょうど1波長分となるため,
これを基本振動と誤解しないよう注意してほしい.
