ホイヘンスの原理と平面波の屈折・反射・回折
ホイヘンスの原理
波面上の各点は,その点を中心とする素元波(そげんは,(小さな球面波))を発する新たな波源とみなせる.
一定時間後の新しい波面は,それらの素元波の包絡面(ほうらくめん(共通接線面))として得られる.
ホイヘンスの原理により,反射・屈折・回折を含めた波の進み方を統一的に説明できる.
波の反射 (入射:incidence,反射:reflection)
入射角 θᵢ 境界面に垂直な直線(法線)と入射波の射線のなす角(境界面とのなす角ではない).
反射角 θᵣ 境界面に垂直な直線(法線)と反射波の射線のなす角(境界面とのなす角ではない).
反射の法則 θᵢ=θᵣ (入射角と反射角は等しい)
波の屈折 (屈折:refraction)
屈折 波が速さが異なる媒質へ斜めに入射したとき,波面の進行方向が変化する現象.
このとき,反射波も同時に生じる.
屈折角 θᵣ 境界面に垂直な直線(法線)と屈折波の射線のなす角(境界面とのなす角ではない).
媒質1,媒質2における波の速さをそれぞれ v₁,v₂,波長を λ₁,λ₂ とする.
n₁₂ を媒質1に対する媒質2の(相対)屈折率といい,2つの媒質で決まる一定値である.
屈折の法則(スネルの法則) sinθᵢ/sinθᵣ=v₁/v₂=λ₁/λ₂=n₁₂
振動数 f は波源の振動数で決まるため,屈折しても変化しない.
v=fλ より,波の速さ v が変化すると波長 λ が変化する.
波の回折 (diffraction)
回折 波が狭い隙間(スリット)を通過するとき,その背後にまで回り込んで伝わる現象.
ホイヘンスの原理による説明
スリットに到達した波面の各点が新たな波源となり,素元波を発する.
その素元波の包絡線が新しい波面となるため,波はスリットの背後にも回り込んで伝わる.
スリット幅 d が波の波長 λ に比べて小さいほど回折の角度が大きくなる.
d≫λ のときはほぼ直進し,d≤λ のときは点波源のように全方向に広がる.
回折の具体例
・可視光の波長は 3.8×10⁻⁷〜7.7×10⁻⁷ m と非常に短く,直進性が高く明瞭な影ができる.
・音波の波長は数十cm〜数mと日常の物体並かそれより長く,音は壁の背後でも聞こえる.
・AMラジオ放送の電波の波長は約数kmと非常に長く,建物や地形全体の背後にまで届く.
(補足)
スリット幅が広い場合,出発点が分散され,壁の背後のある点 P までの距離は様々になる.
その結果,出発点の違いによる距離差が生じる(右図).
さらに,1波長は位相で 2π 分に相当するから,波長が短くなるほど距離差が位相差として大きく現れる.
結局,点 P には位相差が大きく異なる波が多数到達して互いに弱め合うため,回折は目立ちにくくなる.
例えば,位相が θ=0,π/2,π,3/2π のように逆位相に近い波が多数到達する結果,弱め合いやすくなる.
一方,スリット幅が狭く波長が長い場合には,出発点が集中し,距離差による位相差は少なくなる.
例えば θ=0,π/16,2/16π,3/16π のようにほぼ同位相の波が到達するため,弱め合わず回折が顕著になる.
課題
ホイヘンスの原理を用いて,反射の法則 θᵢ=θᵣ が成り立つことを説明せよ.
解説(反射)
① 入射角 θᵢ,速さ v の入射波の波面 AB 上の点 A が境界面に到達した瞬間を考える.
また,点 B が境界面上の点 B′ に到達するまでの時間を t とすると,BB′=vt である.
② ホイヘンスの原理より,点 A から出た素元波は,時間 t の間に半径 R=vt の円に広がる.
③ ホイヘンスの原理より,反射後の波面は,点 B′ を通り,点 A から出た素元波の接線として定まる.
この接点を A′ とすると,反射波の進行方向は AA′ 方向であり,反射後の波面は線分 A′B′ で表される.
④ 直角三角形 BAB′ と直角三角形 A′B′A に着目する.
AA′=B′B=vt で,さらに辺 AB′ は共通であるから △BAB′≡△A′B′A(合同).
よって ∠BAB′=∠A′B′A.
入射角 θᵢ=∠BAB′,反射角 θᵣ=∠A′B′A であるから θᵢ=θᵣ.
(補足まとめ)
反射の法則は,ホイヘンスの原理「波面上の各点が同じ速さで球面状に広がる」から自然に導かれる.
① 反射前の射線と波面を描く → ② 素元波を描く → ③ 反射後の射線と波面を描く → ④ 数学的証明
波面は直線なので,反射後の点 B′ を通る波面は,1つの素元波を描いてもう1点とるだけで定まる.
点 B が点 B′ に到達した時刻 t において,点 A は半径 vt の素元波上のどこかに到達しているはずである.
新たな波面は,素元波の包絡線(射線と波面が常に垂直)という条件から,接線として一意に定まる.
直角三角形では,2辺の長さが等しいならば合同である(三平方の定理より,実質3辺の長さが等しい).
入射角 θᵢ と反射角 θᵣ はそれぞれ合同な直角三角形の対応する内角に等しいため,θᵢ=θᵣ が示される.
課題
ホイヘンスの原理を用いて,屈折の法則 sinθᵢ/sinθᵣ=v₁/v₂ が成り立つことを説明せよ.
(屈折の補足まとめ)
屈折の法則もホイヘンスの原理から自然に導かれる.大筋は反射の法則の場合と同様である.
点 B が点 B′ に到達した時刻 t において,点 A は半径 v₂t の素元波上のどこかに到達しているはずである.
屈折後の波面が接線として定まり,2つの直角三角形 BAB′ と A′B′A は辺 AB′ を共有している.
よって,入射角 θᵢ と屈折角 θᵣ の正弦の比は,辺 BB′ と辺 AA′ の比に帰着する.
(屈折問題)
水面波は水深によって速さが変化するため,水深の異なる領域へ進入すると屈折が起こる.
水深が異なる2つの領域が水平な境界線で接しており,深さ h₁=0.60 m の領域1中を
周期 T₁=1.5 s,速さ v₁=8.0 m/s で伝わってきた平面波が,領域2へ屈折する.
図中には,入射前と屈折後の波面が描かれている.
(1) 図に点 O を通る入射波と屈折波の射線,入射角 θᵢ と屈折角 θᵣ を描き,θᵢ,θᵣ 求めよ.
(2) 屈折して領域2に入った後の平面波の周期 T₂,速さ v₂,波長 λ₂,および領域1に対する領域2の相対屈折率 n₁₂ を求めよ.
(3) 波長が水深よりも十分長いとき,波の速さ v は重力加速度の大きさ g と水深 h を用いて v=gᵃhᵇ(a,b:定数)と表される.両辺の単位を比較することにより,a,b の値を求めよ.また,領域2の水深 h₂ を求めよ.
(4) 水深が徐々に浅くなる海岸では,波は海岸線にどのように打ち寄せるか.その理由とともに述べよ.
(1)
入射角 θᵢ = 60°, 屈折角 θᵣ = 30°
問題の図の斜線は, 射線ではなく波面であることに注意する.
よって, この図で示されている斜線と境界面とのなす角は, 入射角・屈折角ではない.
波面と直交する直線が射線であり, このうち原点を通るものを描く.
さらに, 境界面の法線を描いて初めて, 入射角 θᵢ と屈折角 θᵣ を射線とのなす角として定義できる.
(2)
振動数 f = 1/T は屈折しても変わらないから, 周期 T も不変である.
したがって
T₂ = T₁ = 1.5 s
屈折の法則より
sin60° / sin30° = v₁ / v₂ = n₁₂
(√3/2) / (1/2) = 8.0 / v₂ より
速さ v₂ = 8.0 / √3 ≈ 4.6 m/s
波長は
λ₂ = v₂ T₂ = (8.0 / √3) × 1.5 = 12 / √3 = 4√3 ≈ 6.9 m
領域1に対する領域2の相対屈折率は
n₁₂ = sin60° / sin30° = √3 ≈ 1.7
(3)
v = gᵃ hᵇ において, 単位は
v [m/s], g [m/s²], h [m]
よって
[m¹ · s⁻¹] = [m · s⁻²]ᵃ · [m]ᵇ = [mᵃ⁺ᵇ · s⁻²ᵃ]
指数を比較すると
a + b = 1, −1 = −2a
したがって
a = 1/2, b = 1/2
よって
v = √(gh)
これより
sinθᵢ / sinθᵣ = v₁ / v₂ = √(gh₁) / √(gh₂) = √(h₁ / h₂)
したがって
h₁ / h₂ = (sinθᵢ / sinθᵣ)²
0.60 m / h₂ = (√3)² より
h₂ = 0.20 m
(4)
v = √(gh) より, 波は浅くなるほど速さが小さくなるため, 入射角 θᵢ よりも屈折角 θᵣ が小さくなる方向に屈折しながら進む.
その結果, 波面は海岸線とほぼ平行になり, 波は海岸にほぼ垂直に打ち寄せる.
