2つの平面波の干渉のGeogebraアニメーション
平面波とその自由端反射波の干渉のGeogebraアニメーション
図は, y軸とのなす角がθと−θで進行してきた振幅A, 速さv, 波長λの等しい2つの平面波が原点Oに同位相で到達した瞬間である(2波はいずれも−y方向成分をもつ). 実線は山の波面, 破線は谷の波面を表す.
(1) y軸上では, 2つの平面波の合成波は進行波か定常波か. 理由も含めて答えよ. また, 合成波の最大振幅・速さ・波長を答えよ.
(2) x軸上では, 2つの平面波の合成波は進行波か定常波か. 理由も含めて答えよ. また, 合成波の最大振幅・速さ・波長を答えよ.
(3) 2つの平面波によって生じる干渉縞はどのような向きに並ぶか. また, 腹線と腹線の間隔をλとθを用いて表せ.
速さvのx方向とy方向の成分をvₓ, vᵧとすると , vₓ=v sinθ, vᵧ=v cosθ
波長λのx方向とy方向の成分をλₓ, λᵧとすると λₓ=λ/sinθ, λᵧ=λ/cosθ
(1) y軸上では, 同方向に進む振幅・速さ・波長・位相の同じ進行波が重なり合う.
よって, 合成波は 振幅 2A, 速さ vᵧ=v cosθ, 波長 λᵧ=λ/cosθの進行波となる.
(2) x軸上では, 逆方向に進む振幅・速さ・波長の同じ進行波が重なり合う.
よって, 合成波は 最大振幅 2A, 速さ 0, 波長 λₓ=λ/sinθの定常波となる.
[ 斜交平面波の干渉は, x方向とy方向を別々に考えることで, 直線上の重ね合わせに帰着する.
ここではv, vₓ, vᵧを速度ではなく速さとしているため, 正負を考慮する必要はない.
y軸上では同方向・同位相なので振幅2倍の進行波, x軸上では対称性より逆方向なので定常波ができる.
(2) 定常波の波長は元の進行波の波長と一致する.
定常波の振幅は腹の位置では2A, 節の位置では0となる. ]
(3) 干渉縞はy軸に平行な直線として並ぶ.
腹線の間隔は, x軸上の定常波の腹の間隔に等しいから λₓ/2=λ/(2sinθ)
[ 円形波の干渉と同様, 山(実線)と山(実線), 谷(破線)と谷(破線)の交点(●)を結ぶと, 腹線が現れる.
山(実線)と谷(破線)の交点(○)を結ぶと, 節線が現れる.
ただし, ●と○を打っただけでは, 腹線・節線がx軸に平行かy軸に平行かが判断できない.
そこで, ある瞬間の波面が一定時間後にどの位置へ移動するかを考え, その交点の移動方向を調べる.
問題の図の1周期(T)後の波面を描くと, 最初原点にあった交点(赤)は, y軸負方向へ移動している.
よって, 腹線・節線はいずれもy軸に平行な直線であると判断できる. ]
Part 2/2
図は, y軸とのなす角がθで進行してきた振幅A, 速さv, 波長λの平面波の最初の波面が原点Oに到達した瞬間を表している. 原点Oはx軸上にあり, 平面波はx軸で自由端反射する. 実線は山の波面, 破線は谷の波面を表す.
(1) y軸上では, 入射波と反射波の合成波は進行波か定常波か. 理由も含めて答えよ. また, 合成波の最大振幅・速さ・波長を答えよ.
(2) x軸上では, 入射波と反射波の合成波は進行波か定常波か. 理由も含めて答えよ. また, 合成波の最大振幅・速さ・波長を答えよ.
(3) 入射波と反射波によって生じる干渉縞はどのような向きに並ぶか. また, 腹線と腹線の間隔をλとθを用いて表せ.
速さvのx方向とy方向の成分をvₓ, vᵧとすると , vₓ=v sinθ, vᵧ=v cosθ
波長λのx方向とy方向の成分をλₓ, λᵧとすると λₓ=λ/sinθ, λᵧ=λ/cosθ
(1) y軸上では, 逆方向に進む振幅・速さ・波長の同じ進行波が重なり合う.
よって, 合成波は 最大振幅 2A, 速さ 0, 波長 λᵧ=λ/cosθの定常波となる.
(2) x軸上では, 同方向に進む振幅・速さ・波長・位相の同じ進行波が重なり合う.
よって, 合成波は 振幅 2A, 速さ vₓ=v sinθ, 波長 λₓ=λ/sinθの進行波となる.
[ 対称性より, 入射波と反射波の進行方向は, x方向は同方向, y方向は逆方向になる.
自由端反射では入射波と反射波の位相が変わらないため, x軸上では常に強め合う(振幅2倍の進行波).
固定端反射では位相がπずれる(逆位相になる)ため, x軸上では常に弱め合う(振動しない). ]
(3) 干渉縞はx軸に平行な直線として並ぶ.
腹線の間隔は, y軸上の定常波の腹の間隔に等しいから λᵧ/2=λ/(2cosθ)
[ 問題の図の1周期(T)後の波面を描くと, 最初原点にあった交点(赤)は, x軸正方向へ移動している.
よって, 腹線・節線はいずれもx軸に平行な直線であると判断できる.
固定端反射の場合, 位相がπずれて反射波の実線と破線が入れ替わるため, x軸上は節となる. ]
