定積分を含む漸化式で定義された関数列

sequence-function

次を満たす整式f_n(x)を求めよ.$ $f₁(x)=2x+1,f_{n+1}(x)=x²+x∫f_{n}(t)dt (n=1,\ 2,\ )$ {関数の列}\ f₁(x),\ f₂(x),\ ,\ f_n(x)\ が定積分を含む漸化式で定義されている. f₁(x)が与えられれば,\ 漸化式からf₂(x)が定まる.\ 同様にf_n(x)が定まっていく. {∫f_n(t)dt\ は,\ 「積分区間が定数から定数」なので,\ 定数になる.} よって,\ 文字定数でおくことができる. ただし,\ {f_n(x)はnによって式が異なるから,\ 定積分の値も異なる.} 例えば,\ 本問の場合,\ 次のように変化していくと予想できる. この場合,\ f_n(x)に対応して変化することを見越し,\ {∫f_n(t)dt=a_n}\ とおく. 後は,\ {a_{n+1}を計算}していくと,\ {特殊解型の2項間漸化式}に帰着する. 漸化式を解いてa_nが求まれば,\ f_{n+1}(x)が定まるので,\ f_n(x)に変換する. {n\ →\ n-1}\ とすればよいが,\ このとき\ {n2\ となる}ことに注意する. f₁(x)に対して適用すると,\ f₀(x)となってしまい,\ n1に矛盾するからである. n=1の場合とn2の場合をまとめることができないかを考える. n2の式に,\ 試しにn=1を代入してみると,\ f₁(x)=x²+{10}{3}x\ となる. これは問題のf₁(x)=2x+1と一致しない. よってまとめることはできず,\ n=1とn2の場合を分けて答えることになる.

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