比例式 a/b=c/d(同次分数式の値と等式の証明)

proportional-expression
比例式の扱い$   文字を減らす.} =k\ とおくと,\ x→y→z→xのように文字が循環した連立方程式に帰着する. {循環型の連立方程式は,\ 各辺の和をとると対称式になる}ことを利用する. 和をとった式から各式を引くと,\ 容易にx,\ y,\ zが求まる. 本問の求値式は,\ 分母も分子も2次の項だけでできている. このような分数式を{同次式}といい,\ kが約分されて値が求まる. 逆に言えば,\ {同次式の値は比さえわかれば求められる.} a,\ b,\ c,\ d\ は正数で,\ a:b=b:c=c:d\ が成り立つとする.$ $このとき,\ (a+b):(b+c)=(b+c):(c+d)\ が成り立つことを示せ.$ 条件が比の形で与えられた場合,\ 直ちに{分数での表現に変換する.} a:b=c:d\ のとき,\ ad=bc\ より,\ ab= cd\ が成立する(両辺をbdで割った). ac= bd\ (両辺をcdで割る)や,\ dc= ba\ (両辺をacで割る)\ にも変形できる. {a:b=c:d ab= cd}\ は素早く変換できるようにしておこう. {連比}\ a:b:c=d:e:f\ は,\ 「a:b=d:eかつb:c=e:f」を意味する. 本問は,\ 条件も結論も分数で考えて証明すればよい. 本解のようにa,\ b,\ cをすべてdで表してもよいが,\ 別解が簡潔である.  [東北学院大] 循環型の連立方程式となるから各辺を足してから整理する. (a+b+c+3)=2k(a+b+c+3)\ の両辺を\ a+b+c+3\ を割ってはいけない. a+b+c+3=0\ になる可能性があるからである. よって,\ 左辺に集めて{因数分解}することになる. 同値関係\ 「AB=0A=0\ または\ B=0」\ を適用し,\ 場合分けする. 本問の場合,\ より,\ 「a+b+c+3=0\ または\ 1-2k=0」\ となる. 一般に,\ ax=ay\ において,\ a0\ が確定していない限り,\ x=y\ とはできない. a(x-y)=0\ より,\ 「a=0\ または\ x-y=0」\ としなければならないのである. {文字式の場合,\ 両辺を割るとき=0になるか否かに特段の注意が必要である.} さて,\ 本問が厄介なのは,\ 次のような記述で解答を終えてはいけないことである. a+b+c+3=0\ のとき,\ {a+1}{b+c+2}=-1  よって\ k=-1,\ 12 なぜなら,\ これは必要条件にすぎず,\ {必要十分条件になっていない}からである. 「\ かつかつ\ 」\ は逆が成立しない. 通常,\ {式の数が減ると同値性が保たれない.} 例えば,\ は逆が成立しない(左に戻れない). 逆も成立させるためには,一方の式を残す. 要は,のa+b+c+3=0,\ k=12\ がとも満たすかの確認が要るのである. \ b+c+20\ (問題の分母は0と考えてよい)\ より,\ k=-1 a+b+c+3=0\ かつ\ k=-1\ のとき,\ も満たすから,\ k=-1\ は答えである. \ よって,\ a=b=c\ のとき,\ もも満たすから,\ k=12\ は答えである. 必要十分条件を意識して記述するならこのようになるが,\ やや難しい. そこで,\ 本解では,\ 単純にすべての式に代入して確認しておいた.
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