実数係数方程式が共役複素数解をもつことの証明

complex-conjugate-number
実数係数のn次方程式\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a₁x+a₀=0\ がある.$ $この方程式が虚数解\ α\ を解にもつとき,\ その共役複素数\ α\ も解にもつ$  超有名定理であるが,\ その証明を知らない学生が多い.  非常にスマートな証明があるので,\ パターンとして覚えておきたい.  共役複素数に関して,\ 次の性質が成立する.  両辺の共役複素数をとる を解にもつことを意味している.}$} 共役複素数に関する性質[容易に証明できる.\ 一部の例を示す. \ x=α\ を解にもつから,\ これを代入すると成立する. ここで,\ {両辺の共役複素数をとる.} この後,\ 性質,\ ,\ [3]を用いて,\ {に\ α\ を代入した形まで変形}してけばよい. \ 本問は,\ 普段方程式の問題でよく使う有名定理の証明である.  {「実数係数}のn次方程式が虚数解をもつとき,\ 共役複素数も解にもつ」 この性質は,\ あくまでも{実数係数の場合のみ成立する}ことに注意する. 実数係数でない場合,\ [3]が適用できないからである. よって,\ この性質を使うとき,\ {必ず実数係数であることを断る}べきである. また,\ 全く同様の原理で,\ 次の定理も証明できる.  {「有理数係数}のn次方程式が無理数解をもつとき,\ 共役無理数も解にもつ」
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