1の3乗根(虚数立方根)ωの性質、ωの式の値

[4]の説明における「[2]より」は、「[3]より」の誤りですm(_ _)m

cubic-root
1の3乗根は,\ $x³=1$の解}である. 虚数解の1つを普通${ω}$とおく.  虚数解は2つあるが,\ どちらを$ω$とおいても,\ 以下の性質が成立する.  理由も問われるので,\ それらを理解した上でさらに暗記しておく. ,\ \ ω\ は,\ 2つの方程式\ x³=1,x²+x+1=0\ の解である.    \ よって,\ ω³=1,ω²+ω+1=0\ が成立する.    \ この等式(ω\ の方程式)は,\ {ω\ の高次式の次数下げ}に用いられる(最重要). {[3]}\ このように,\ {どちらの虚数解を\ ω\ とおいても,\ 2乗するともう一方になる.} {[3]}\ よって,\ 1の3つの3乗根は,\ 1,\ ω,\ ω²\ と表すことができる. [4]}\ {2つの虚数解は互いに共役}であるから,\ 一方を\ ω\ とすると,\ {他方は\ ω}\ となる.が成立する. {[3]}\ また,\ 解と係数の関係より, さて,\ 同様に考えると,\ {-1の虚数立方根z}の性質もわかる. また,\ 解と係数の関係より,\ z z=1であるから  問題を見た瞬間に,\ {1の3乗根の問題だと気付けるか}が最大のポイントである. それには,\ {x²+x+1=0の2解が1の虚数立方根である}ことの暗記を要する. 普段から,\ {x²+x+1\ を特別な式と考えておく}必要があるのである. 1の3乗根であることに気付けば,\ まず{ω\ に関して成立する2つの等式を導く.} 等式が成立する理由を理解していて初めて,\ この発想が出てくる. 後は,\ 2つの等式を用いて,\ {限界まで次数を下げていく.} {等式(方程式)があるとき,\ 高次式の次数を方程式よりも低くできた.} 等式は2次式であるから,\ どんな高次式も必ず1次以下の式にできるはずである. まず,\ 3乗以上の項を\ ω³=1\ で簡単にする. 次に,\ {ω²=-ω-1}\ を繰り返し適用してどんどん次数を下げていく. 場合によっては,\ {ω²+ω=-1}\ や\ {ω²+1=-ω}\ として適用したほうが速い. \ ω³=1\ で簡単にした後,\ 通分してから\ ω²=-ω-1\ を適用すると約分できる. 簡潔に済む. \ ω²=-ω-1\ を適用し,\ 次数を下げた後で展開する. \ 別解のようにうまく処理すると,\ より簡潔に済む. \ ω²+ω+1=0\ の利用を見越し,\ {3項ずつ組み合わせる.} \ 別解では,\ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ {a(1-r^n)}{1-r}\ を用いた.
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