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半径$r$の球形容器に質量$m$の分子が$N$個入っている.\ 分子1個が速度$v$,\ 入射角$\theta$で \\[.2zh] \hspace{.5zw}球面と完全弾性衝突したとする.\ 分子1個の衝突で球面が受ける力積の大きさは$\fbox{\ (1)\ }$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}である.\ この分子は時間$t$の間に\ \fbox{\ (2)\ }\ 回だけ球面と衝突するから,\ 球面がこの分子 \\[.2zh] \hspace{.5zw}から受ける時間$t$の間の平均の力の大きさは$\kyouyaku f=\fbox{\ (3)\ }$である. よって,\ 球面が$N$個 \\[.4zh] \hspace{.5zw}の分子から受ける力の大きさは,\ 全分子の速さの2乗平均を$\kyouyaku{v^2}$とすると$F=\fbox{\ (4)\ }$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}である.\ ゆえに,\ 球の体積を$V$とすると球面が受ける圧力は$P=\fbox{\ (5)\ }$である.\ これ \\[.2zh] \hspace{.5zw}を理想気体の状態方程式と比較すると,\ アボガドロ定数$N_{\mathRM A}$を用いて分子1個の平均 \\[.2zh] \hspace{.5zw}の運動エネルギーが
力積と運動量の関係}より,\ 中心向きを正とすると分子が球面から受ける力積$I$は \\[.3zh] \centerline{$I=\textcolor{red}{mv\cos\theta-(-mv\cos\theta})=2\,mv\cos\theta$} \\[1zh] \centerline{$\therefore 球面が分子から受ける力積の大きさは \bm{2\,mv\cos\theta}$} \\\\\\
(2)\ \ 分子は時間$t$で$vt$進み,\ 2\,$r\cos\theta$進むごとに球面と1回衝突するから
(3)\ \ 球面が時間$t$の間に分子1個から受ける力積は $N$個の分子から受ける力の大きさは
全体の流れに加えて最終的な結論も立方体の場合と同じである. \\[1zh] (1)\ \ まず,\ \bm{分子1個の1回の面との衝突}について考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 力積と運動量はベクトル量なので向きに注意を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 衝突の前後で面に水平方向の成分は変化なし,\ 垂直方向の成分は向きが逆になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 完全弾性衝突であるから,\ 大きさは同じである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(分子が面から受けた力積)=(衝突後の分子の運動量)-(衝突前の分子の運動量)} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分子は面から大きさ2\,mv\cos\theta\,の力積を受けるとき,\ 面も分子から同じ大きさの力積を受ける. \\[1zh] (2),\ (3)\ \ 次に,\ \bm{分子1個の時間tの間の面との衝突}について考える. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ 2\,r\cos\theta\,進むにつき1回衝突することに注意して時間tの衝突回数を求める. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ そして,\ 次の計算で時間tの間に面が分子1個から受ける力積が求められる. \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ \bm{(1回の衝突で受ける力積)\times(時間tの間の衝突回数)} \\[.2zh] \phantom{(1),\ (2)}\ \ 後は,\ \bm{(力積)=(平均の力)\times(時間)}\ の関係から平均の力を求めることができる. \\[1zh] (4)\ \ \bm{面がN個の分子から受ける力}について考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分子ごとに速さが異なるので平均とると,\ 分子1個から受ける力の平均は\ \bunsuu{m\kyouyaku{v^2}}{r}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これをN倍すればよい. \\[1zh] (5)\ \ \bm{(圧力)=(力)\div(面積)}\ で求める.\ さらに,\ 無理矢理\,\bunsuu43\pi r^3\,を作り出して体積Vで表す. \\[1zh] (6)\ \ アボガドロ定数N_{\mathRM A}\,とは,\ 粒子1\,\text{mol}あたりN_{\mathRM A}\,個を意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり\ n\,[\text{mol}]=\bunsuu{N\,[個]}{N_{\mathRM A}\ [個/\text{mol}]}\ であり,\ これを用いて変形する.