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質量$m$\,[kg]の球を初速度0で落下させる.\ 球の速さが$v$\,[m/s]のとき$kv$\,[N]\ ($k:比例$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$定数$)の抵抗力を空気から受けるものとして問いに答えよ.\ ただし,\ 重力加速度の大き \\[.2zh] \hspace{.5zw}さを$g$\,[m/s$^2$]とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 球の速さが$v$\,[m/s]\,となった瞬間の加速度の大きさを求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 十分時間が経過すると,\ 球の速さは一定になる.\ このときの速さ$v_{\text f}$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 球の$v-t$図の概形を描け. \\
空気抵抗を受ける物体の運動}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ 加速度を$a$とすると,\ 運動方程式は $\textcolor{red}{ma=mg-kv}$ \\[1zh] (1)\ \ 着目物体である球が受ける力は重力mgと空気の抵抗力kvである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 物体は鉛直下方向に運動するから,\ 鉛直下向きをx軸の正方向とする座標軸を設定する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は運動方程式を立てて加速度を求めればよい.\ 合力はmg+(-\,kv)である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単位のない問題に慣れていると,\ たまに単位を問われた場合忘れやすいので注意する. \\[1zh] (2)\ \ 球は重力を受けて加速していくが,\ 一方で速度に比例して空気抵抗が大きくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ \bm{最終的に重力と空気の抵抗力がつりあう瞬間が訪れる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一旦つりあう瞬間が訪れると,\ それ以上加速も減速もしないため,\ \bm{等速直線運動}に移行する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このときの速度を\bm{\textcolor{blue}{終端速度}}という. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 終端速度は\bm{加速度a=0}として求めることも,\ 力のつりあいで求めることもできる. \\[1zh] (3)\ \ \bm{v-t図の傾きは加速度を意味する}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 初速度0で落下させた瞬間,\ 空気の抵抗力kv=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ ma=mgよりa=gである.\ つまり,\ \bm{原点におけるv-tグラフの傾きはg}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこから徐々に加速度(傾き)が小さくなっていき,\ 最終的に0になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このときの速度が終端速度\ \bunsuu{mg}{k}\ である.\ 以上の2点に注意すると,\ 上図のようなグラフになる.