検索用コード
エネルギー\ [J]}}  物体がもつ仕事をする能力. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{運動エネルギー\ [J]}} ($質量:m,\ 速さ:v$) \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{K=\bunsuu12mv^2}}$}}} \\\\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{重力による位置エネルギー\ [J]}} ($質量m,\ 重力加速度g,\ \underline{基準面から}の高さh$) \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{U=mgh}}$}}} \\\\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{ばねの弾性力による位置エネルギー\ [J]}} ($ばね定数k,\ \underline{自然長から}の伸び・縮みx$) \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{U=\bunsuu12kx^2}}$}}} \\\\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{保存力}}  \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{物体に与える仕事が経路によらず,\ 最初と最後の位置だけで決まる力.}} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{重力・万有引力・弾性力・静電気力}}のみ. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{力学的エネルギー}}  \textbf{\textcolor{red}{物体がもつ運動エネルギーと位置エネルギーの総和.}} \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{力学的エネルギー保存則}} \\[.5zh] 保存力以外の力が仕事しないとき,\ 全力学的エネルギーは運動の前後で保存する. \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{K_始+U_始=K_終+U_終}}$}}
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
位置エネルギーは基準からみてどれくらいの位置にいるかで決まる. \\[.2zh] つまり,\ その都度\bm{自分で基準を設定}しなければならない. \\[.2zh] 基準をどこにとるかは自由なので,\ 立式や計算が楽になるところを基準にとればよい.
下図のように,\ 高さ$h$のなめらかな台上にある一端を固定されたばね定数$k$のばねに \\[.2zh] \hspace{.5zw}質量$m$の小球を押し付けて$x$だけ縮めてからはなしたところ,\ ばねが自然長になった \\[.2zh] \hspace{.5zw}ときに小球がばねから離れ,\ その後小球は台から飛び出した.\ 重力加速度の大きさを \\[.2zh] \hspace{.5zw}$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 小球が台から飛び出すときの速さ$v_1$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 小球が床に到達したときの速さ$v_2$を$v_1$を用いて表せ. \\\\
(1)\ \ 力学的エネルギー保存則より $\textcolor{red}{0+\bunsuu12kx^2=\bunsuu12m{v_1}^2+0}   \therefore\ \ \bm{v_1=x\ruizyoukon{\bunsuu km}}$ \\\\
(2)\ \ 床を重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より \\[.5zh] $\textcolor{red}{\bunsuu12m{v_1}^2+mgh=\bunsuu12m{v_2}^2+0}    \therefore \bm{v_2=\ruizyoukon{{v_1}^2+2gh}}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
(1)\ \ 台から飛び出すまでに小球が受ける外力は重力,\ ばねの弾性力,\ 垂直抗力である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 重力と弾性力は保存力である,\ また,\ 垂直抗力は\bm{進行方向と常に垂直をなすから仕事をしない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 初期状態の力学的エネルギーと台から飛び出すときの力学的エネルギーは等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ゆえに,\ 次の式を立式すればよい.\ ばねの弾性力による位置エネルギーの基準は自然長とする. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(最初の運動エネルギー)+(最初の弾性力による位置エネルギー)} \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \             \bm{=(最後の運動エネルギー)+(最後の弾性力による位置エネルギー)} \\[1zh] (2)\ \ \bm{空中の物体が受ける外力は重力(保存力)のみであるから,\ 力学的エネルギーが保存する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 重力による位置エネルギーの基準は最下点とするのが基本である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(最初の運動エネルギー)+(最初の重力による位置エネルギー)} \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \             \bm{=(最後の運動エネルギー)+(最後の重力による位置エネルギー)} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 練習のため,\ 高さhを位置エネルギーの基準として立式してみると,\ 実質同じ式が得られる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   \bunsuu12m{v_1}^2+0=\bunsuu12m{v_2}^2+mg(-\,h) \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 飛び出した後の運動は\bm{水平投射}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 等加速度運動の公式を用いて\ v_2\ を求めることもできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 力学的エネルギー保存則を適用できる場合,\ これを優先するのが簡潔である.
長さ$l$の軽い糸に質量$m$の小球をつけた振り子がある.\ 支点Oと同じ高さの点Aまで \\[.2zh] \hspace{.5zw}小球を持ち上げて静かにはなしたところ,\ 最下点Bを通過した後に$\angle\mathRM{BOC}=60\Deg$とな \\[.2zh] \hspace{.5zw}る点Cで糸が切れた. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点Bにおける速さ$v_1$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 点Cにおける速さ$v_2$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 糸が切れた後に小球が最高点に到達したときの点Bからの高さ$x$を求めよ. \\
(1)\ \ 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より \\[.5zh] $\textcolor{red}{0+mgl=\bunsuu12m{v_1}^2+0}    \therefore \bm{v_1=\ruizyoukon{2gl}}$ \\\\
(2)\ \ 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より \\[.5zh] $\textcolor{red}{0+mgl=\bunsuu12m{v_2}^2+mg\cdot\bunsuu l2}    \therefore \bm{v_2=\ruizyoukon{gl}}$ \\\\
(3)\ \ 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より \\[.5zh] $\textcolor{red}{0+mgl=\bunsuu12m(v_2\cos60\Deg)^2+mgx}    \therefore \bm{x=\bunsuu78l}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
(1)\ \ 小球は重力と張力を受ける.\ \bm{張力は進行方向と常に垂直をなすから仕事をしない.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 振り子では力学的エネルギーが保存するから,\ 次の式を立てる. \\[.5zh] \phantom{(3)}\ \ \bm{(点\mathRM Aの運動エネルギー)+(点\mathRM Aの位置エネルギー)} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \                 \bm{=(点\mathRM Bの運動エネルギー)+(点\mathRM Bの位置エネルギー)} \\[1zh] (2)\ \ (1)と同様に力学的エネルギー保存則を立式すればよい. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ このとき,\ 点\mathRM Aとのエネルギー保存を考えると楽である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \angle\mathRM{BOC}=60\Deg\ を考慮すると,\ 点\mathRM{C}から見た点\mathRM{O}の高さが\ \bunsuu12l\ である. \\[.5zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 最下点\mathRM Bから見た点\mathRM Cの高さは\ l-\bunsuu12l=\bunsuu12l\ である. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ \bm{(点\mathRM Aの運動エネルギー)+(点\mathRM Aの位置エネルギー)} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \                 \bm{=(点\mathRM Cの運動エネルギー)+(点\mathRM Cの位置エネルギー)} \\[1zh] (3)\ \ 円運動における速度は常に円の接線方向であるから,\ v_2\,は線分\mathRM{OC}と直角をなす. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 点\mathRM{C}で糸が切れると,\ 小球は水平面と60\Deg\,をなす方向に飛び出す. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 空中では重力(保存力)しか受けないから,\ 飛び出した後も力学的エネルギーが保存する. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ ここで,\ 力学的エネルギーが保存するから点\mathRM{A}と同じ高さに到達するという\bm{間違い}が多い. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 最高点においては,\ \bm{鉛直方向の速度は0になるが水平方向の速度は0でない.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 力学的エネルギーすべてが位置エネルギーとはならないので,\ 点\mathRM{A}よりは低くなる. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 要は\bm{斜方投射}であり,\ \bm{水平方向は等速直線運動},\ 鉛直方向は加速度運動する. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 最高点での水平方向の速度はv_2\,の水平方向の速度と等しくv_2\cos60\Deg\ である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 以上を踏まえて,\ 点\mathRM Aとのエネルギー保存則を立式すればよい.