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床との衝突}} \\[.5zh] 高さ$h$から自由落下させた小球が床でバウンドして高さ$h’$まで到達したとする. \\[.2zh] また,\ 衝突直前と直後の速さを$v,\ v’$,\ 衝突するまでとしてからの時間を$t,\ t’$とする. \\[.5zh] 反発係数eの式\ e=-\bunsuu{{v_1}’-{v_2}’}{v_1-v_2}\ において床の速度v_2={v_2}’=0\ とすると\ e=-\bunsuu{{v_1}’}{v_1}\ が導かれる. \\[1zh] 等加速度運動の公式\ v=v_0+at\ より v=0+gt\ (衝突前),\ \ 0=v’-gt’\ (衝突後) (下向き正) \\[.2zh] よって -\bunsuu{v’}{v}=-\bunsuu{-gt’}{gt}=\bunsuu{t’}{t} \\[1zh] 等加速度運動の公式\ v^2-{v_0}^2=2ax\ より v^2-0^2=2gh\ (衝突前),\ \ 0^2-{v’}^2=2(-\,g)h’\ (衝突後) \\[.2zh] よって -\bunsuu{v’}{v}=-\bunsuu{-\ruizyoukon{2gh’}}{\ruizyoukon{2gh}}=\ruizyoukon{\bunsuu{h’}{h}} \\[1.5zh] 結局,\ 衝突の前後で\bm{速度は大きさがe倍で逆向き,\ 時間はe倍,\ 高さはe^2\,倍}になる(暗記推奨). \\[1zh] 特にe=0ならばv’=0,\ つまり面に付着する. \\[.2zh] 特にe=1ならばv’=-\,v,\ つまり衝突前と同じ速さではね返る.
\textbf{\textcolor{blue}{なめらかな床との斜め衝突}}
等速直線運動}}}
\Put{(-.5,2.5)}[w]{\textbf{\textcolor{blue}{鉛直投げ上げ}}}
斜め衝突でよくある誤りは\ e=-\bunsuu{v’}{v}\ としてしまうことである.\ 正しくは\ e=-\bunsuu{{v_y}’}{v_y}\ である. \\[.8zh] 面と平行方向には力積を受けないから速度変化なし,\ 面と垂直方向には力積を受けて-e倍になる. \\[1zh] 繰り返し衝突では,\ \bm{衝突ごとに速度e倍,\ 時間e倍,\ 高さe^2\,倍}になる. \\[.2zh] 面と平行方向は等速度であるから,\ その移動距離は時間に比例する.\ よって,\ 衝突ごとにe倍になる.
点Oから投射角$45\Deg$で小球を打ち出したところ,\ 距離が$l$だけ離れた壁面の点Aに垂 \\[.2zh] \hspace{.5zw}直に当たって跳ね返った.\ その後,\ 小球は床でバウンドを繰り返した.\ 小球が1回目に \\[.2zh] \hspace{.5zw}バウンドした床上の点をB,\ その後の最高点をCとする.\ 小球と壁および小球と床の \\[.2zh] \hspace{.5zw}反発係数を$e$,\ 重力加速度の大きさを$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点Oで打ち出した瞬間の小球の速さ$v_0$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 点Aの床からの高さ$h_1$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 点Aで跳ね返った直後の小球の速さ$v_1$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 点Aから点Bまでの水平方向の移動距離$x$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 点Cの床からの高さ$h_2$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ 小球は点Aで跳ね返ってから時間$T$後にちょうど点Oに戻り,\ その後バウンド \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ せずに床上をすべりはじめた.\ $e$の値を求めよ. \\
小球が点Oから点Aに移動するのにかかった時間を$t_1$とする. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 点Aにおける鉛直方向の速度は0であるから
(4)\ \ 小球が点Aから点Bに移動するのにかかった時間を$t_2$とする. \\[.5zh] (5)\ \ 点Bで衝突直前の鉛直方向の速度$v_y$は $\textcolor{red}{v_y=0-gt_2}=-\ruizyoukon{gl}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 点Bで衝突直後の鉛直方向の速度${v_y}’$は
\phantom{ (1)}\ \ この間の水平方向の移動距離は
(1)\ \ 問題から条件「投射角45\Deg」「水平方向の移動距離l」「点\mathRM Aでの鉛直方向の速度0」がわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この条件を立式するには\bm{初速度と時間を文字で設定}する必要がある.\ 学生はこれができない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等加速度運動の公式v=v_0+atおよび等速直線運動の公式l=vtを立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 初速度v_0\,は水平方向と鉛直方向に分解,\ 上向きを正として立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 連立するとv_0\,がg,\ lで表される. \\[1zh] (2)\ \ 等加速度運動の公式\ h=v_0t+\bunsuu12at^2\ を適用する.\ さらにv_0\,を消去する. \\[1zh] (3)\ \ 水平方向は等速運動であるから,\ 衝突直前の速度はv_0\cos45\Deg\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 衝突前の方向を正として反発係数の式を適用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ v_1\,は速さであり,\ \bm{速度は-v_1}\,であることに注意して適用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単純に衝突前の速さv_0\cos45\Deg=\ruizyoukon{gl}\ のe倍としてもよい. \\[1zh] (4)\ \ ここでも一旦時間を設定して考える.\ \mathRM{AからB}は鉛直方向は\bm{自由落下運動(初速度0)}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 鉛直方向だけで見ると,\ \mathRM{OからB}の過程は単なる\bm{投げ上げ}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ t_1=t_2\ となっていることにも着目しておこう. \\[1zh] (5)\ \ 高さがe^2\,倍になることを無断使用してもよいかは微妙なので一応求める. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ v=v_0+at\ で衝突前の速度,\ 反発係数の式で衝突後の速度,\ さらにv^2-{v_0}^2=2ax\ で求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここでは速さではなく速度をv_y,\ {v_y}’\,としていること,\ 上向きを正としていることに注意. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ もし速さをv_y,\ {v_y}’\,と設定したならば次のようになる(向きを符号で表して代入). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -v_y=0-gt_2 より v_y=\ruizyoukon{gl}   e=-\bunsuu{{v_y}’}{-v_y} より {v_y}’=e\ruizyoukon{gl} \\[1.5zh] (6)\ \ \mathRM{小球がBからCに移動するのにかかった時間をt_3\,とする.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0={v_y}’-gt_3 より \bm{t_3}=\bunsuu{{v_y}’}{g}=e\ruizyoukon{\bunsuu lg}=\bm{et_2}\ \ (t_2\,のe倍) \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 点\mathRM{B}の衝突から次の衝突までの時間は,\ 対称性より\bm{2et_2}\,である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{衝突ごとに,\ 衝突直後の速さはe倍になるから滞空時間もe倍になる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ゆえに,\ t_2\,基準でみると,\ 次の衝突までの滞空時間は2et_2,\ 2e^2t_2,\ 2e^3t_2,\ \cdots\cdots\ となっていく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これをすべて(無限まで)足し合わせたものがバウンドしなくなるまでの時間Tである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1+e+e^2+\cdots\cdots\ は,\ 初項1,\ 公比eの無限等比級数の和である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の極限公式を要する.\ 初項a,\ 公比rの無限等比級数の和は \bm{\bunsuu{a}{1-r}}\ \ (0<r<1) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ 等比数列の和の公式\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}\ \ (0<r<1)においてn\,→\,\infty\ としたものである. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 題意より,\ 0<e<1\ であるから公式の適用条件を満たす. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は時間Tの移動距離がlと等しくなるようなeを求めればよい.