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質量$m$の小球に長さ$l$の軽い糸をつけ,\ 点Oを中心に鉛直面内で円運動させるために \\[.2zh] \hspace{.5zw}最下点で初速度$v_0$を与えた.\ 重力加速度の大きさを$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 円運動するための$v_0$の条件を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 糸の変わりに軽い棒を用いたとき,\ 円運動するための$v_0$の条件を求めよ. \\
遠心力)}$}
小球上の観測者
(1)\ \ 最高点における速さを$v$,\ 糸の張力を$T$とする. \\[.8zh] 鉛直面内での円運動は\bm{非等速円運動}である.\ この場合のポイントは2つである. \\[.2zh] 1点目は,\ \bm{各点においては等速円運動と同様の式が成立する}ことである. \\[.2zh] 2点目は,\ 各点における速さを関連づけるために\bm{エネルギー保存則が利用できる}ことである. \\[.2zh] 糸の張力は常に進行方向と垂直で仕事をしないため,\ 力学的エネルギーが保存するのである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{\textcolor{blue}{鉛直面内での円運動の問題では円運動の式と力学的エネルギー保存則を連立}}することになる. \\[1zh] (1)\ \ 糸がたるむことなく円運動するための条件は,\ \bm{最高点における張力\,T\geqq0}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ vが最も小さくなる最高点において,\ m\bunsuu{v^2}{l}\ は最小になる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 重力の中心方向の成分は最高点で最大になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{張力\ T=m\bunsuu{v^2}{l}-mg\ は最高点で最小になる}といえる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 円運動の式は,\ 地上と小球上のいずれの立場でも立式できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 地上の観測者から見ると加速度運動であるから,\ 運動方程式を立てる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 小球上の観測者から見るとつりあっている.\ 遠心力(慣性力)を考慮してつりあいの式を立てる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 位置エネルギーの基準は最下点で,\ 最高点における速さは\ v=\ruizyoukon{gl}\ である. \\[1zh] (2)\ \ 棒を用いた場合は円軌道からはずれないため,\ \bm{最高点における速さv>0}\ が条件となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 力学的エネルギー保存則のみで決まる.\ v=0のときは最高点で静止してしまう.
なめらかな面をもち中心をOとする半径$r$の半球が水平面に固定されている.\ 半球の \\[.2zh] \hspace{.5zw}最高点Aで質量$m$の小球を静かに放したところ,\ $\angle\mathRM{AOB}=\theta$となる点Bで半球面か \\[.2zh] \hspace{.5zw}ら離れた.\ このときの高さ$h$と速さ$v$を$r$と重力加速度の大きさ$g$で表せ. \\
地上の観測者}}}
中心方向の運動方程式   \textcolor{red}{m\bunsuu{v^2}{r}=mg\cos\theta-N} & \cdots\cdots\maru1 \\[.8zh] 力学的エネルギー保存則
中心方向のつりあい    \textcolor{red}{N+m\bunsuu{v^2}{r}=mg\cos\theta} & \cdots\cdots\maru1 \\[.8zh] 力学的エネルギー保存則
目新しいことは特にない.\ 点\mathRM{B}における円運動の式と力学的エネルギー保存則を連立する. \\[.2zh] まず,\ 重力と接触力(垂直抗力のみ)を図示する.\ 小球上の観測者から見る場合は遠心力も図示する. \\[.2zh] 円運動では必ず\bm{円の中心方向に軸をとる.}\ すると,\ \bm{重力mgを分解}することになる. \\[.2zh] 位置エネルギーの基準は水平面とした. \\[1zh] \bm{面から離れるときN=0}である.\ 連立すると\,\cos\theta\,が求まり,\ これを元にh,\ vを求めればよい.