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なめらかな平面上に質量$m$の物体Aと質量$M\ (>m)$の物体Bがおかれており,\ 物体 \\[.2zh] \hspace{.5zw}Bには自然長$l$,\ ばね定数$k$の軽いばねが水平に取り付けられている.\ 物体Aに速さ$v$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}を与えて物体Bのばねに衝突させた.\ 衝突によるエネルギー損失はないものとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 衝突後,\ ばねが最も縮んだときの物体Aと物体Bの速さを求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ ばねが最も縮んだときの自然長からの縮み$x$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 2物体が分離した後の物体Aと物体Bの速さを求めよ. \\
ばねが最も縮んだときの物体Aと物体Bの速さは同じ}であり,\ これを$V$とする. \\[.5zh] (1)\ \ 物体\mathRM{A,\ B}全体に着目すると,\ 水平方向には外力による力積を受けない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 衝突前後で運動量が保存する.\ 物体\mathRM{A,\ B}が同じ速さになることに注意して立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 物体\mathRM Bに乗った人の立場でみると,\ 物体\mathRM Aは最初近づいてきてある瞬間から遠ざかっていく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その瞬間,\ \bm{物体\mathRM Bに乗った人の立場からみた物体\mathRM{A}の相対速度は0}になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ 物体\mathRM Aと物体\mathRM Bが同じ速さであることを意味している. \\[1zh] (2)\ \ (物体\mathRM{A}の運動エネルギー)=(物体\mathRM{A,\ B}の運動エネルギー)+(ばねの弾性エネルギー) \\[1zh] (3)\ \ 分離後,\ 物体\mathRM{A}の向きが衝突前と同じ向きか逆向きかがわからない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 速さではなく\bm{速度を文字で設定}し,\ とりあえず\mathRM{AからB}の向きと仮定して立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 未知数は{V_{\mathRM A}}’\,と{V_{\mathRM B}}’\,であることに注意して連立方程式を解く. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ エネルギー保存則は2次式なので,\ この連立方程式を加減法で解くことはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 連立方程式の大原則\bm{「1文字消去」}を行う. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \maru1を{V_{\mathRM A}}’=v-\bunsuu Mm{V_{\mathRM B}}’\ と変形して\maru2に代入し,\ {V_{\mathRM B}}’\,のみの方程式にすればよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ こうして求まるが,\ 速度のみの2つの保存則の連立ではより簡潔な方法がある.
\phantom{(1)}\ \ これは,\ \bm{物体\mathRM Aの分離後の速度の向きが衝突前と逆向きになる}ことを意味している. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問われているのは速度ではなく速さであるから,\ 速度{V_{\mathRM A}}’\ の大きさを答えなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{絶対値をとることで正にして答える}ことになる.  \zettaiti{{V_{\mathRM A}}’}=\bunsuu{M-m}{M+m}v \\[1.5zh] \phantom{(1)}\ \ エネルギーが保存するということは,\ \bm{弾性衝突(反発係数1)}であることを意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これと\maru1を連立して求めるほうが楽である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 反発係数の式を変形すると\ v+{V_{\mathRM A}}’={V_{\mathRM B}}’\ となる.\ \maru5は反発係数の式だったのである.