line-symmetric-displacement2

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応用的な対称移動を4つ紹介する. \\\\  関数の$\bm{\textcolor{blue}{y=xに関する対称移動}}を考える.$ \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{移動前の点}$\textcolor{cyan}{(x,\ y)}をy=xに関して対称移動した点は,\ \textcolor{red}{(y,\ x)}である.$ \\  この点を$\textcolor{red}{(X,\ Y)}とすると,\ \textcolor{magenta}{X=y,\ Y=x}\ である.$ \\  $\textcolor{cyan}{y=f(x)}に,\ \textcolor{magenta}{x=Y,\ y=X}\ を代入すると,\ \textcolor{red}{X=f(Y)}\ \to\ \textcolor{red}{\bm{x=f(y)}}$ \\[.5zh]  結局,\ $y=x$に関する対称移動は,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{x\ \to\ y,\ y\ \to\ x}}$}\ とすればよい. \\  要するに,\ \textbf{$\bm{xとy}$を入れ替えた関数}(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iの\textbf{逆関数})となる. \\  なお,\ $y=xとの交点は,\ 移動しない.$  関数の$\bm{\textcolor{blue}{x軸に平行な直線y=qに関する対称移動}}を考える.$ \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{移動前の点}$\textcolor{cyan}{(x,\ y)}とy=qに関する\textcolor{red}{対称移動後の点(X,\ Y)}の関係は,$ \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{magenta}{X=x,\ \bunsuu{y+Y}{2}=q}   よって \textcolor{magenta}{x=X,\ y=2q-Y}$} \\[.5zh]  これを$\textcolor{cyan}{y=f(x)}に代入すると, \textcolor{red}{2q-Y=f(X)}\ \to\ \textcolor{red}{\bm{2q-y=f(x)}}$ \\[.5zh]  結局,\ $y=q$に関する対称移動は,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{y\to2q-y  関数の$\bm{\textcolor{blue}{y軸に平行な直線x=pに関する対称移動}}を考える.$ \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{移動前の点}$\textcolor{cyan}{(x,\ y)}とx=pに関する\textcolor{red}{移動後の点(X,\ Y)}の関係は,$ \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{magenta}{\bunsuu{x+X}{2}=p,\ Y=y}   よって \textcolor{magenta}{x=2p-X,\ y=Y}$} \\[.5zh]  これを$\textcolor{cyan}{y=f(x)}に代入すると,\ \textcolor{red}{Y=f(2p-X)}\ \to\ \bm{\textcolor{red}{y=f(2p-x)}}$ \\[.5zh]  結局,\ $x=p$に関する対称移動は,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{x\to2p-x}}$}\ とすればよい.  関数の$\bm{\textcolor{blue}{点(p,\ q)に関する対称移動}}を考える.$ \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{移動前の点}$\textcolor{cyan}{(x,\ y)}と点(p,\ q)に関する\textcolor{red}{移動後の点(X,\ Y)}の関係は,$ \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{magenta}{\bunsuu{x+X}{2}=p,\ \bunsuu{y+Y}{2}=q}   よって \textcolor{magenta}{x=2p-X,\ y=2q-Y}$} \\[.5zh]  これを$\textcolor{cyan}{y=f(x)}に代入して,\ \textcolor{red}{2q-Y=f(2p-X)}\ \to\ \textcolor{red}{\bm{2q-y=f(2p-x)}}$ \\[.5zh]  結局,\ $点(p,\ q)$に関する対称移動は,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{x\to2p-x,\ y\to2q-y}}$}\ となる.