even-odd

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対称移動に関連して,\ \textbf{\textcolor{blue}{偶関数・奇関数}}という概念がある. \\  特に,\ 微分・積分においては,\ 偶関数・奇関数を意識していると,\ 計算量・思考量を大幅に減らせることがよくある. \\  偶関数・奇関数の対称性から,\ $x\geqq0$の範囲の考察で十分となるからである. \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{偶関数}}とは,\ $\bm{\textcolor{red}{y軸対称である関数}}のことである.$ \\  \scalebox{0.98}[1]{$\bm{y=(定数) が代表的な偶関数である.$} \\  整関数においては,\ \textbf{\textcolor{cyan}{偶数次}ならば偶関数}である. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{一般の関数$\bm{y=f(x)}$が,\ 偶関数か否かを識別する方法}}を確認する. \\  $y軸に関する対称移動は,\ yを固定して,\ x\to-x\ とすればよかった.$ \\  逆に言えば,\ $x \to -x\ としたとき,\ yが変化しなければ,\ y軸対称である.$ \\  数式で示すと,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{f(-x)=f(x)}}$}で,\ これが\textbf{\textcolor{blue}{偶関数であるための条件}}となる. \\\\  実際には,\ $x\to-xとしてみて,\ 元の式と一致するかを見る.$ \\  つまり,\ $\bm{\textcolor{magenta}{f(-x)を変形していって,\ f(x)になれば偶関数であるといえる.}}$ \\\\  $例として,\ f(x)=\bunsuu{1}{x^2+1}\ が偶関数か否かを調べてみよう    \therefore\ \bm{偶関数}$ \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{奇関数}}とは,\ \textbf{\textcolor{red}{原点対称である関数}}のことである. \\  $\bm{y=x,\ y=x^{\textcolor{cyan}{3}},\ y=x^{\textcolor{cyan}{5}}\ \cdots}\ や\ \bm{y=\sin x}が代表的な奇関数である.$ \\  整関数においては,\ \textbf{\textcolor{cyan}{奇数次}ならば奇関数}である. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{一般の関数$\bm{y=f(x)}$が,\ 奇関数か否かを識別する方法}}を確認する. \\  原点に関する対称移動は,\ $x\to-x,\ y\to-y$とすればよかった. \\  逆に言えば,\ $x\to-x$としたとき,\ $y\to-y$となれば,\ 原点対称である. \\  数式で示すと,\ \colorbox{yellow}{$\bm{\textcolor{red}{f(-x)=-f(x)}}$}で,\ これが\textbf{\textcolor{blue}{奇関数であるための条件}}となる. \\  $つまり,\ \bm{\textcolor{magenta}{f(-x)を変形していって,\ -f(x)になれば奇関数であるといえる.}}$ \\\\  $例として,\ f(x)=\bunsuu{x^3}{x^2+1}\ が奇関数か否かを調べてみよう.$ \\ 偶関数と奇関数の掛け算には,\ 次に示す重要な性質がある.}} \\  これは,\ 偶数と奇数の\namikasen{足し算}と類似している(\textcolor{red}{掛け算ではない!}). \\  また,\ 対称式と交代式の掛け算の関係と一致している.  理由は,\ $h(x)=f(x)g(x)として,\ h(-x)を計算してみるとわかる.$ \\[.5zh]  $(1)\ f(x)とg(x)が偶関数ならば,\ f(-x)=f(x),\ g(-x)=g(x)$ \\  $ \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x)     \ \ \therefore\ h(x)は偶関数$ \\[.5zh]  $(2)\ f(x)が偶関数,\ g(x)が奇関数ならば,\ f(-x)=f(x),\ g(-x)=-g(x)$ \\  $ \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)\{-g(x)\}=-h(x)   \therefore\ h(x)は奇関数$ \\[.5zh]  $(3)\ f(x)とg(x)が奇関数ならば,\ f(-x)=-f(x),\ g(-x)=-g(x)$ \\  $ \ \ h(-x)=f(-x)g(-x)=\{-f(x)\}\{-g(x)\}=h(x)  \therefore\ h(x)は偶関数$ \\\\  $先の例\ \bunsuu{x^3}{x^2+1}\ において,\ x^3\times\bunsuu{1}{x^2+1}と考えると,$ \\  $(奇関数)\times(偶関数)=(奇関数)\ の関係であったことがわかる.$ \\\\\\  \textbf{関数の偶奇性も重要だが,\ それ以上に\textcolor{red}{対称性そのものが重要である.}} \\  \textbf{特に,\ $\bm{x}$軸対称・$\bm{y}$軸対称・原点対称の3つに気付けるか否かの差は大きい.} \\\\  関数$y=f(x)$\ (陽関数表示)を,\ $F(x,\ y)=0$\ (陰関数表示)で表すと \\[.5zh] \textcolor{blue}{直線y=xに関して対称} F(\textcolor{red}{x},\ \textcolor{red}{y})=F(\textcolor{red}{y},\ \textcolor{red}{x}) \\ \textcolor{blue}{直線y=qに関して対称} F(x,\ \textcolor{red}{y})=F(x,\ \textcolor{red}{2q-y}) \\ \textcolor{blue}{直線x=pに関して対称}  F(\textcolor{red}{x},\ y)=F(\textcolor{red}{2p-x},\ y) \\ \textcolor{blue}{点(p,\ q)に関して対称}