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ベクトルの外積は\textbf{\textcolor{purple}{受験数学最強の裏技の1つ}}であり,\ 上級者は是非習得しておいてほしい. \\[.2zh] 大学1年の最初に学習する程度の知識であり,\ 適用できる試験問題が結構多い. \\[.2zh] 保証はできないが,\ 記述試験で使用した際の減点リスクも低い. \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{外積の定義}} \\[.5zh] 平行でない2つのベクトル$\bekutoru*a,\ \bekutoru*b\ のなす角を\ \theta\ (0\leqq\theta\leqq \pi)\ とする.$ \\[.2zh] 以下の2つの性質をもつベクトルを$\bm{\textcolor{blue}{\bekutoru*a\ と\ \bekutoru*b\,の外積}}$といい,\ $\bm{\textcolor{blue}{\bekutoru*a\times\bekutoru*b}}$と表す
両方に垂直}}で,から\ \bekutoru*b\ に右ねじを回したときに進む向き}}.$ \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{外積の図形的意味}} \\
のその他の性質}} \\[.7zh] $[3]$\ \ \textbf{内積がスカラー量}なのに対し,\ \textbf{\textcolor{red}{外積はベクトル量}}である. \\\ \bekutoru*b}$が張る平行四辺形の面積に等しい.}} \\\\\\
に右ねじを回したときに進む向き}である. \
\text{[3]}\ \ 内積をスカラー積,\ 外積を\bm{ベクトル積}ともいう. \\[1zh] \ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.$ \\
外積の成分表示に代入すると,\ \bm{\bekutoru*a\,と\,\bekutoru*b\,に垂直なベクトルの1つ}が求まる. \\[.2zh] 単位ベクトル(大きさ1のベクトル)にするには,\ 各成分を大きさで割ればよい. \\[.2zh] つまり\,\ruizyoukon{4^2+(-\,4)^2+4^2}=4\ruizyoukon3\ で割る.\ 逆向きのベクトルも考慮し,\ \pm\,で答える.
空間の三角形の面積・平行六面体の体積・四面体の体積}空間の三角形の面積}} 
\text{[1]}\ \ (平行四辺形\mathRM{OADB}の面積)=\zettaiti{\bekutoru*a\times\bekutoru*b}\ の半分が三角形の面積である. \\[1zh] \text{[2]}\ \ \bekutoru*c\ と\ \bekutoru*a\times\bekutoru*b\ のなす角を\ \alpha\ とすると (平行六面体の高さ)=\zettaiti{\bekutoru*c}\cos\alpha \\[.4zh] \phantom{[2]}\ \ よって (平行六面体の体積)=(底面積\mathRM{OADB})\times(高さ)=\zettaiti{\bekutoru*a\times\bekutoru*b}\times\zettaiti{\bekutoru*c}\cos\alpha \\[.4zh] \phantom{[2]}\ \ これは,\ 内積の定義\
\phantom{[1]}\ \ 内積が負となる場合を考慮して絶対値がつけてある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 内積はスカラー量であることから,\ \bm{スカラー三重積}と呼ばれている. \\[1zh] \text{[3]}\ \ 四面体の底面積は,\ 平行六面体の底面積の\ \bunsuu12\ である. \\[.6zh] \phantom{[1]}\ \ (三角錐)=(底面積)\times(高さ)\times\bunsuu13\ より,\ (四面体の体積)=(平行六面体の体積)\times\bunsuu16\ となる. \\[1.2zh] \phantom{[1]}\ \ 高校範囲で4点の座標から四面体の体積を求めるには,\ かなり面倒な計算が必要であった. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ そのことは,\ 前項までに示してきた通りである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 外積を利用すると,\ 以下のようにあっさりと求めることができる.