plane-symmetric-point

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座標空間上に4点A(2,\ 1,\ 0),\ B(1,\ 0,\ 1),\ C(0,\ 1,\ 2),\ D(1,\ 3,\ 7)がある. \\[.2zh] \hspace{.5zw}3点A,\ B,\ Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}点Eの座標を求めよ.                 [京都大] \\  点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする. \\[.5zh]  点Hは平面ABC上の点であるから,\ 始点を原点Oとすると \\[.2zh] 座標が与えられているので,\ \bm{原点\mathRM{O}を始点}として考える. \\ 求める\bm{\mathRM{E}の座標は,\ \bekutoru{OE}\ の成分に等しい.} \\ \bekutoru{DE}\ ではないので,\ 誤解しないように注意が必要である. \\ 普通に書くとわかりにくそうなので,\ 成分を縦で表記することにした. \\ \mathRM{点Dと点Eが平面ABCに関して対称であるときの条件は次の2つである.} \\ \bm{「線分\mathRM{DEと平面ABCが垂直}」「\mathRM{線分DEの中点が平面ABC上にある}」} \\ どのような解法をとるにせよ,\ この2つの条件を考慮することになる. \\ ここでは,\ \bm{\bekutoru{DH}\ の成分を求め,\ それを2倍して\ \bekutoru{DE}\ とする}解法を用いた. \\ \bekutoru{DH}\ の成分は,\ 平面\mathRM{ABC}との垂直条件から求められる. \\ 後は,\ \mathRM{原点Oから点Dを経由して,\ 点Eまで辿ればよい.} \\ ちなみに,\ \bekutoru{OH}=(-2,\ 3,\ 4)より,\ 点\mathRM{H}の座標は,\ \mathRM{H}(-2,\ 3,\ 4)\ である.