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座標空間上に4点A(1,\ 1,\ 0),\ B(1,\ 0,\ 1),\ C(0,\ 1,\ 1),\ P(0,\ 3,\ 5)がある.\ 3点A,\ B,\ Cを \\[.2zh] \hspace{.5zw}通る平面に関して点Pと対称な点をQとするとき,\ 点Qの座標を求めよ.\\
平面に関する対称点の位置ベクトル}}}} \\
点Pから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする. \\[.5zh] 点Hは平面ABC上の点であるから,\ 始点を原点Oとし,\ $s,\ t$を実数とすると \\[.5zh] 座標平面において直線に関する対称点を求める問題があったが,\ それの空間版である. \\[.2zh] 座標が与えられているので,\ 原点\mathRM{O}を始点として考える. \\[.2zh] 点\mathRM{Q}の座標を求めることは,\ \bekutoru{OQ}\ の成分を求めることに等しい. \\[.2zh] 横に書くとわかりづらいので,\ 成分を縦で表記している. \\[1zh] さて,\ \mathRM{点Pと点Qが平面ABCに関して対称であるためには次の2条件が必要である.} \\[.2zh] \bm{「線分\mathRM{PQと平面ABCが垂直}」「\mathRM{線分PQの中点が平面ABC上にある}」} \\[.2zh] どのような解法をとるにせよ,\ 本質的にはこの2つの条件の扱いがポイントになる. \\[.2zh] ここでは,\ \bm{\bekutoru{PH}\ の成分を求め,\ それを2倍して\ \bekutoru{PQ}\ とする}という最も自然な解法を示した. \\[.2zh] \bekutoru{PH}\ の成分は,\ \mathRM{点Hが平面ABC上にあることと直線PHが平面ABC}と垂直であることから求まる. \\[.2zh] 直線と平面の垂直条件は,\ \bm{直線が平面上の任意の2直線と垂直をなす(内積0になる)}ことであった. \\[.2zh] 後は,\ \mathRM{原点Oから点Pを経由して点Qまで辿ればよい.} \\[.2zh] なお,\ \bekutoru{OH}=(-\,2,\ 1,\ 3)より,\ 点\mathRM{H}の座標は\mathRM{H}(-\,2,\ 1,\ 3)\,であり,\ \text{PQ}の中点になっている.