space-plane

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1点と法線ベクトルが与えられると,\ 1つの平面が定まる.}} \\[.2zh] このことに基づいて空間における平面の方程式を作成しよう.
1点をA($\bekutoru*a$),\ 法線ベクトルを$\bekutoru*n$,\ 平面上の任意の点をP($\bekutoru*p$)とすると
\maru1に空間の座標や成分を代入すると,\ \textcolor{blue}{空間における平面の方程式}が得られる. \\[.5zh] $-ax_0-by_0-cz_0\ は定数であるから,\ これをまとめてdとおくと$ \\[.5zh] を法線ベクトルにもつ平面の方程式の一般形(座標空間)}}$} \ を法線ベクトルにもつ平面の方程式}}$}
学習済みである次との関連にも留意しておいてほしい. \\[.2zh] \maru1に平面の座標や成分を代入すると,\ \textcolor{blue}{平面における直線の方程式}が得られる.
$-ax_0-by_0\ は定数であるから,\ これをまとめてcとおくとを法線ベクトルにもつ直線の方程式の一般形(座標平面)}}$}
平面における直線の方程式は,\ 切片形なる形に変形できた. \\[1zh] \centerline{\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{x}$軸上の点$\bm{(p,\ 0)}$と$\bm{y}$軸上の点$\bm{(0,\ q)}$を通る直線の方程式(切片形)
同様に,\ 空間における平面の方程式も切片形に変形できる. \\[.2zh] 一般に,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{一直線上にない3点が与えられると,\ 1つの平面が定まる.}} \\[1zh] 平面が\textcolor{cyan}{$x軸上の点(p,\ 0,\ 0),\ \ y軸上の点(0,\ q,\ 0),\ \ z軸上の点(0,\ 0,\ r)$を通る}とき \は意味をもたない)座標軸上の3点(p,\ 0,\ 0),\ (0,\ q,\ 0),\ (0,\ 0,\ r)を通る平面の方程式(切片形)
\hspace{.5zw}以下の条件を満たす平面の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点A$(2,\ 3,\ -\,1)$を通り,\ $\bekutoru*n=(4,\ -\,1,\ 3)$に垂直. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 点A$(-\,1,\ 4,\ 2)$を通り,\ $\bekutoru*n=(0,\ 1,\ 0)$に垂直. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 3点A$(1,\ 3,\ 1)$,\ 点B$(2,\ -\,3,\ 0)$,\ 点C$(-\,2,\ -\,3,\ -\,2)$を通る. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 点A$(2,\ -\,4,\ -\,1)$を通り,\ 直線$l:\bunsuu{x-4}{2}=\bunsuu{y+3}{-\,1}=z-1$を含む. \\[1zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 点A$(-\,4,\ 0,\ 1)$を通り,\ 直線$m:\bunsuu{x+3}{5}=\bunsuu{y-2}{-\,1}=\bunsuu{z-3}{2}$に垂直. \\
(4)\ \ $直線l上には
\phantom{  (1)}\ \ よって,\ 平面の方程式を
(5)\ \ 求める平面の法線ベクトルは
(1),\ (2)\ \ 1点と法線ベクトルが既知なので,\ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\ に代入する. \\[1zh] (3)\ \ \bm{3点が与えられた場合,\ 平面の方程式の一般形ax+by+cz+d=0に代入する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ 4つの未知数に対して式が3つしかないので完全に特定することはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \bm{必要なのはa,\ b,\ c,\ dの比}であり,\ 完全に値を特定する必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x+2y+3z+4=0と2x+4y+6z+8=0は同じ式である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 比を求めることは,\ \bm{a,\ b,\ c,\ dをどれか1つの文字で表す}ことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 闇雲に連立していると訳がわからなくなるので,\ 残す文字と消す文字を意識して変形する.
\phantom{(1)}\ \ 本問では,\ \maru5よりcをaで簡潔に表せたので,\ b,\ dもaで表すことにした. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ ax+\bunsuu12ay-2az+\bunsuu12a=0\ の両辺に\ \bunsuu2a\ を掛ければよい.
(5)\ \ \bm{直線mの方向ベクトル(5,\ -\,1,\ 2)が求める平面の法線ベクトル}である. \\[1zh] (6)\ \ \mathRM{点A,\ B,\ Cはそれぞれx,\ y,\ z軸上の点であるから,\ 公式\ \bunsuu xp+\bunsuu yq+\bunsuu zr=1\ を利用する.}