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直線の表現は,\ ベクトルを用いると平面でも空間でも同じである. \\[.2zh] 1点と傾き(方向ベクトル$\bekutoru*d$)が与えられたときの直線のベクトル方程式が次であった. に平行な直線のベクトル方程式}}$}
ベクトル表示の式に対し,\ $\bm{\begin{cases}
\textcolor[named]{ForestGreen}{平面の座標や成分を代入} & → \textcolor[named]{ForestGreen}{平面における方程式} \\[.2zh] \textcolor{red}{空間の座標や成分を代入} & → \textcolor{red}{空間における方程式}
\end{cases}}$\ \ になる. \\\\\\
比較のため,\ まず平面における方程式を求めてみる. \\[.2zh] $直線上の任意の点を\ \bekutoru*p=(x,\ y),\ \ 通る1点を
まず,\ \textbf{\textcolor{magenta}{直線の媒介変数表示}}\maru1が得られる. \\[.2zh] $lもm$も0でないとき,\ \maru2のように$xとy$について対称な形(\textbf{\textcolor{magenta}{一般形}})に変形できる. \\[.2zh] \maru3は,\ 見慣れている点$(x_0,\ y_0)$を通る傾き$\bunsuu ml$の直線の式(\textbf{\textcolor{magenta}{基本形}})に他ならない. \\\\\\
$それでは,\ 空間における直線の方程式を求めてみよう.$ \\[.2zh] \scalebox{.95}[1]{$直線上の任意の点を\ \bekutoru*p=(x,\ y,\ z),\ \ 通る1点を\ \bekutoru*a=(x_0,\ y_0,\ z_0),\ \
このようにして,\ 空間における直線の媒介変数表示\maru4と一般形\maru5を得ることができる. \\\\
\centerline{$\bm{\textcolor{blue}{点(x_0,\ y_0,\ z_0)を通り,\ \bekutoru*d=(l,\ m,\ n)に平行な直線の方程式}}$}{座標平面における直線の方程式は,\ 座標空間では平面の方程式になる}のであった. \\[.2zh] よって,\ $\bunsuu{x-x_0}{l}=\bunsuu{y-y_0}{m},\ つまり\ y-y_0=\bunsuu ml(x-x_0)$は空間では平面を表す. \\[.4zh] 同様に,\ $\bunsuu{y-y_0}{m}=\bunsuu{z-z_0}{n},\ つまり\ z-z_0=\bunsuu nm(y-y_0)$も平面を表す. \\[.4zh] つまり,\ \maru5は\textbf{\textcolor{red}{平面と平面の交線として直線を表現している式}}なのである.
\hspace{.5zw}次の条件を満たす直線の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 点A$(2,\ -\,1,\ 3)$を通り,\ $\bekutoru*d=(4,\ 5,\ 2)$に平行な直線. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 2点A$(-\,2,\ 0,\ 3)$,\ B$(2,\ 2,\ 1)$を通る直線.\ この直線と$xy$平面との交点も求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 2点A$(1,\ 2,\ 0)$,\ B$(1,\ -\,2,\ 3)$を通る直線. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ 点A$(3,\ 1,\ -\,2)$を通り,\ $z$軸に平行な直線.
\betu\ \ 原点をO,\ 直線上の点をP$(x,\ y,\ z)$とすると,
(2)\ \ 方向ベクトルは 
\betu\ \ 原点をO,\ 直線上の点をP$(x,\ y,\ z)$とすると
(1)\ \ 通る1点(x_0,\ y_0,\ z_0)と方向ベクトル\ \bekutoru*d=(l,\ m,\ n)\ が与えられたならば公式代入で済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 応用性を考えると,\ むしろ媒介変数表示から求める別解が重要である. \\[1zh] (2)\ \ \bm{2点が与えられた場合,\ 方向ベクトル\ \bekutoru{AB}\ を求めると,\ 1点と方向ベクトルの場合に帰着}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bekutoru{AB}=\bekutoru{OB}-\bekutoru{OA}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{直線の方程式における方向ベクトルで重要なのは向きのみ}であり,\ その大きさは自由である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bekutoru{AB}=(4,\ 2,\ -\,2)\ は\ \bekutoru*d=(2,\ 1,\ -\,1)\ として代入した(実数倍で向きは変わらない). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際,\ \bunsuu{x+2}{4}=\bunsuu y2=\bunsuu{z-3}{-\,2}\ と\ \bunsuu{x+2}{2}=y=\bunsuu{z-3}{-\,1}\ は同じ式である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ xy平面を式で表すと平面z=0であるから,\ これを代入するとxy平面との交点が求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 媒介変数表示にした場合,\ tの値を求めてから交点を求めることもできる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 上の解答では,\ 点\mathRM{A}を通り,\ 方向ベクトル\ \bekutoru{AB}\ の直線と考えて立式した. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは絶対ではなく,\ 通る1点を\mathRM{B}にしたり,\ 方向ベクトル\ \bekutoru{BA}\ として求めることもできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば\ 点\mathRM{B}(2,\ 2,\ 1),\ \bekutoru{BA}=2(-\,2,\ -\,1,\ 1)\ とすると,\ \bunsuu{x-2}{-\,2}=\bunsuu{y-2}{-\,1}=z-1\ となる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ これも同じ直線を表す方程式である.\ 実際,\ z=0としてxy平面との交点(4,\ 3,\ 0)が求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このように,\ \bm{空間の直線の表現は1通りではない.} \\[1zh] (3)\ \ (2)と同様に方向ベクトルを求めると,\ その成分に0が含まれることがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 公式は\ \bekutoru*d=(l,\ m,\ n)\ において\ l\neqq0,\ m\neqq0,\ n\neqq0\ でなければ使えない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この場合,\ \bm{媒介変数表示}に立ち戻って考えるとよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問では,\ tが含まれないx=1を分離して答えることになる. \\[1zh] (4)\ \ 「z軸に平行」は,\ 「方向ベクトル(0,\ 0,\ 1)」を意味する.\ 別に(0,\ 0,\ -\,1)などでもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 媒介変数表示にすると (x,\ y,\ z)=(3,\ 1,\ -\,2)+t(0,\ 0,\ 1)=(3,\ 1,\ -\,2+t) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ 媒介変数tはすべての実数値をとるから,\ \bm{z=-\,2+t\ もすべての実数値をとる}. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えるとzは何ら制限されない(任意)ということであり,\ この場合z=は必要はない.
$に平行な直線$l$と,\ 点B$(6,\ 1,\ 1)$を通り, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $\bekutoru*e=(-\,2,\ 1,\ -\,1)$に平行な直線$m$が交わることを示し,\ 交点を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 2点A$(1,\ 0,\ -\,2)$,\ B$(3,\ -\,1,\ 1)$を通る直線$l$と2点C$(-\,2,\ 0,\ 0)$,\ D$(0,\ 1,\ -\,1)$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 通る直線$m$がねじれの位置にあることを示せ. \\
\end{cases}$\ を満たす\textcolor{red}{実数$s,\ t$が存在する}とき2直線は交わる. \\\\[1zh] \phantom{  (1)}\ \ $\maru1,\ \maru2より\textcolor{red}{s=-\,2,\ t=2}   これは\textcolor{red}{\maru3も満たす}.$ \\\\
\centerline{$\therefore \bm{2直線は点(2,\ 3,\ -\,1)で交わる.}$} \\\\\\
(2)\ \ 直線$l$の方向ベクトルは $\bekutoru{AB}=(3,\ -\,1,\ 1)-(1,\ 0,\ -\,2)=(2,\ -\,1,\ 3)$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ 原点をO,\ 直線$l$上の点を
\phantom{  (2)}\ \ 直線$m$の方向ベクトルは $\bekutoru{CD}=(0,\ 1,\ -\,1)-(-\,2,\ 0,\ 0)=(2,\ 1,\ -\,1)$ \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ 原点をO,\ 直線$m$上の点を
\end{cases}$\ を満たす\textcolor{red}{実数$s,\ t$が存在する}とき2直線は交わる. \\\\[1zh] \phantom{  (1)}\ \ $\maru1,\ \maru2より\textcolor{red}{s=-\,\bunsuu34,\ t=\bunsuu34}   これは\textcolor{red}{\maru3を満たさない}.$ \\\\
\centerline{$\therefore \bm{2直線は平行ではなく,\ 交点をもたないからねじれの位置にある.}$} \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
(1)\ \ x-4=\bunsuu{y-1}{-\,1}=\bunsuu{z-5}{3}\ と\ \bunsuu{x-6}{-\,2}=y-1=\bunsuu{z-1}{-\,1}\ を連立してもよいが,\ わかりにくい. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 媒介変数表示の利用が効果的である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 方程式を作成することで,\ \bm{図形の存在条件は実数解の存在条件に帰着}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{交点の存在は,\ 実数s,\ tの存在に等しい}わけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2式から2文字が定まるが,\ 式は3つあるから残りの式も満たすかの確認を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 交点は,\ s=-\,2またはt=2を(x,\ y,\ z)に代入すると求められる. \\[1zh] (2)\ \ 空間における2直線の位置関係は3パターンある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \maru1\ \ \bm{1点で交わる(同一平面上にある)} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \maru2\ \ \bm{平行(同一平面上にある)} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \maru3\ \ \bm{ねじれの位置(同一平面上にない
\phantom{(1)}\ \ よって,\ 平行でないかつ交点をもたないことを示せば,\ ねじれの位置にあるといえる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 方向ベクトル\ \bekutoru{AB}\ と\ \bekutoru{CD}\ が実数倍の関係にないから,\ 2直線は平行ではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \bm{実数s,\ tが存在しない}ことを示せばよい.