line-plane

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座標空間において方程式を扱うときに注意すべきことがある. \\[.2zh] それは,\ \textbf{\textcolor{red}{同じ式でも座標平面と座標空間では別の図形を表す}}ことである. \\[1zh] 例えば,\ $x=1$という式はどのような図形を表すだろうか. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{purple}{数直線}}(1次元)ならば,\ $\bm{\textcolor{purple}{x=1}}$は\textbf{\textcolor{purple}{1点}}を表す. \\[.2zh] また,\ \textbf{\textcolor{cyan}{座標平面}}(2次元)ならば,\ $\bm{\textcolor{cyan}{x=1}}$は\textbf{\textcolor{cyan}{直線}}を表す. \\[.2zh] これを空間にまで拡張して\textbf{\textcolor{red}{座標空間}}(3次元)になると,\ $\bm{\textcolor{red}{x=1}}$は\textbf{\textcolor{red}{平面}}を表すようになる. \\[1zh] 数学的には,\ \textbf{\textcolor{magenta}{図形は条件を満たす点の集合}}である. \\[.2zh] そして,\ 座標空間における図形は点$(x,\ y,\ z)$の集合である. \\[.2zh] $x=1$ならば,\ $x$座標が1という制限のみで,\ $y$座標と$z$座標の制限は何もない. \\[.2zh] よって,\ \textbf{\textcolor{red}{点$\bm{(x,\ y,\ z)=(1,\ 自由,\ 自由)}$の集合}}が座標空間の$x=1$が表す図形である. \\[.2zh] すなわち,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x}$座標が1で,\ $\bm{yz}$平面に平行($\bm{x}$軸に垂直)な平面}}というわけである. \\\\
では,\ 座標空間において直線を表すにはどうすればよいだろうか. \\[.2zh] $xy$平面内の直線$x=1$を表したければ,\ $\bm{\textcolor{red}{x=1\ かつ\ z=0}}$とする必要がある. \\[.2zh] これは,\ 直線が\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{平面$\bm{x=1}$と平面$\bm{z=0}$の交線}}であることを意味している. \\[.2zh] 座標空間における直線は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{2つの平面の交線として表現}}できるのである. \\
同じ式が座標平面と座標空間で別の図形を表すのは,\ 直線に限った話ではない. \\[.2zh] 例えば,\ $x^2+y^2=1$は座標空間では\textbf{\textcolor{blue}{円柱面}}を表す($z$座標は自由だから). \\[.2zh] $xy$平面内の円を表したければ,\ 座標空間では$\bm{\textcolor{red}{x^2+y^2=1\ かつ\ z=0}}$とする必要がある. \\[.2zh] 円柱面$x^2+y^2=1$と平面$z=0$の交線が円というわけである. \\[-2zh]