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座標平面上の円や座標空間上の球面は,\ \textbf{\textcolor{purple}{1点からの距離が等しい点の集合}}である. \\[.2zh] このことをベクトルで表現すると,\ 円・球面のベクトル方程式が得られる. 半径$\bm{r}$の円(平面)・球面(空間)のベクトル方程式}}}
{平面の座標や成分を代入} → \textcolor[named]{ForestGreen}{平面における円の方程式} \\[.2zh] \textcolor{red}{空間の座標や成分を代入} → \textcolor{red}{空間における球面の方程式}
\end{cases}}$になる. \\\\[1zh] 比較のため,\ まず平面における円の方程式を求めてみる.円の方程式}})$ \\\\[1zh] 続いて,\ 空間における球面の方程式を求める.中心C($\bm{a,\ b,\ c}$), 半径$\bm{r}$の球面の方程式(標準形
\hspace{.5zw} (1)\ \ 2点A$(5,\ 2,\ -\,1)$,\ B$(-\,1,\ -\,4,\ 3)$を直径の両端とする. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 1点$(2,\ 1,\ 1)$を通り,\ 3つの座標平面に接する. \\
\ 半径の2乗は 半径を$r$とすると,\ 中心の座標が$\textcolor{red}{(r,\ r,\ r)}$とおける. \\[.5zh] \phantom{  (1)}\ \ このとき,\ 球面の方程式は
(1)\ \ 球面の方程式を作成するには中心と半径が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 直径の両端が与えられれば,\ その\bm{中点が中心}である.
\phantom{(1)}\ \ 中心の座標が求まれば,\ \bm{中心と球面上の1点との距離}として半径を求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここでは中心と点\mathRM Aの距離を求めた.\ 必要なのは半径の2乗なので,\ 根号をつける必要はない. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(a_1,\ a_2,\ a_3),\ (b_1,\ b_2,\ b_3)の距離は 
(2)\ \ \bm{球面が\begin{cases}
xy平面 \\[.2zh] yz平面 \\[.2zh] zx平面
\end{cases}\hspace{-.5zw}と接するとき,\ 中心の\begin{cases}
z座標 \\[.2zh] x座標 \\[.2zh] y座標
\end{cases}\hspace{-.5zw}は半径rに等しくなる.} \\\\[-1zh] \phantom{(1)}\ \ 中心(r,\ r,\ r)の球面の方程式に通る1点を代入すると,\ rが定まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ xy平面におけるイメージ図が示すように,\ このような球面は2つ存在する.
を通る球面の方程式を求め,\ さらに中心 \\[.2zh] \hspace{.5zw}の座標と半径を求めよ. {球面の方程式(一般形)
求める球面の方程式を
標準形\ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\ を展開して整理するととおくと一般形が得られる. \\[1zh] \bm{空間内の4点が定まれば1つの球面が定まる.} \\[.2zh] 中心も半径もわからない場合,\ 球面の方程式を一般形で設定する. \\[.2zh] 一般形から標準形に変形するには,\ \bm{x,\ y,\ zそれぞれについて平方完成}すればよい. \\[.2zh]