この項目は 2円の交点を通る直線と円(円束) の知識を前提としています。

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2つの球面$(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=5$と$(x-3)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=2$が \\[.2zh] \hspace{.5zw}交わってできる円を$C$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 円$C$の中心の座標と半径を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 円$C$を含む平面の方程式を求めよ.
(1)\ \ 各球面の中心の座標は 中心間の距離は
\phantom{ (1)}\ \ 円$C$上の点をP,\ 円$C$を含む平面と線分ABの交点をQとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ この\textcolor[named]{ForestGreen}{点Qが円$C$の中心であり,\ 線分PQが円$C$の半径}である. を通り,\ 法線ベクトルが\ \bekutoru{AB}=(2,\ -\,1,\ 2)の平面}は{円$C$を含む球面または平面
(1)\ \ \bm{2つの球面の中心\mathRM{A,\ B}と円C上の点\mathRM{P}でできる三角形に着目}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \mathRM{AP,\ BPは球の半径,\ ABは中心間の距離として3辺の長さが求められる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3辺の長さから垂線\mathRM{PQ}を求めるのは中学図形の問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\mathRM{AQ}\,を文字でおき,\ 三平方の定理を用いて\mathRM{PQ}の長さを2通りに表す}ことで求められる. (3-x)^2}\ を連立する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 中心の座標は,\ \bm{線分\mathRM{AB}の内分点}の座標として求められる.
(2)\ \ 1点と法線ベクトルが定まれば1つの平面が定まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1点は中心,\ \mathRM{AB\perp PQ}\ より,\ \bekutoru{AB}\,が求める平面の法線ベクトルである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1点(x_0,\ y_0,\ z_0)を通り,\ \bekutoru*n=(a,\ b,\ c)\ を法線ベクトルにもつ平面の方程式は \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \bm{a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{数\text{I\hspace{-.1em}I}で学習した2円の交点を通る直線と円(円束)の問題と同様の考え方}の別解も重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2つの球面をf(x,\ y,\ z)=0,\ g(x,\ y,\ z)=0とする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \bm{f(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0\ が表す図形は2つの球面の交線を含む.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2つの球面の交線とは,\ f(x,\ y,\ z)=0かつg(x,\ y,\ z)=0を満たす図形である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ f(x,\ y,\ z)=0かつg(x,\ y,\ z)=0は,\ f(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0を満たす. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ 交線がf(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0で表される図形に含まれることを意味している. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 求めるのは,\ f(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0が表す図形のうち,\ 平面となるものである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{x^2,\ y^2,\ z^2\,の項が消えてx,\ y,\ zの1次式となる}とき,\ この図形は交線を含む平面を表す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その条件を満たすのはk=-\,1のときのみであるから,\ 求める方程式はこれでしかありえない.