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球面$(x-2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=16$と次の平面が交わってできる円の中心の座標 \\[.2zh] \hspace{.5zw}と半径を求めよ. xy平面 
(2)\ \ 求める円の中心は,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{球面の中心から平面に下ろした垂線の足H}である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ この点と球面の中心Oを通る直線OHの方程式は $\textcolor{magenta}{\bunsuu{x-2}{-\,1}=\bunsuu{y+1}{2}=\bunsuu{z+2}{1}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ この$\textcolor[named]{ForestGreen}{直線と平面\ -x+2y+z+12=0\ の交点}より \bm{円の中心
(1)\ \ xy平面の式はz=0なので,\ これを球面の式に代入するとz=0上の円の方程式が得られる. \\[1zh] (2)\ \ \bm{直線\mathRM{OH}の方向ベクトルは,\ 平面-\,x+2y+z+8=0の法線ベクトルに等しい.} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 法線ベクトルは,\ \bekutoru*n=(-\,1,\ 2,\ 1)\ である. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 点(x_0,\ y_0,\ z_0)を通り,\ 方向ベクトル\,\bekutoru*d=(a,\ b,\ c)の直線 \bunsuu{x-x_0}{a}=\bunsuu{y-y_0}{b}=\bunsuu{z-z_0}{c} \\[.6zh] \phantom{(2)}\ \ 球面の中心(2,\ -\,1,\ -\,2)を通り,\ 方向ベクトル\,\bekutoru*d=(-\,1,\ 2,\ 1)の直線として立式できる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ さらに,\ この直線と平面の交点として垂線の足(円の中心の座標)が求まる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 球面の半径は4であるから,\ \bm{三平方の定理}によって円の半径も求まる. \\[1zh] \phantom{(2)}\ \ \mathRM{OH}の長さを求めるだけならば,\ \bm{点と平面の距離の公式}の利用が速い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 点(x_0,\ y_0,\ z_0)と平面ax+by+cz+d=0の距離は 
さて,\ 交わってできる円は,\ 球面の方程式と平面の方程式をいずれも満たす図形である. \\[.2zh] よって,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{交円の方程式は球面の方程式と平面の方程式を連立して得られる}}はずである. \\[.2zh] 実際,\ (1)では球面の方程式と平面の方程式$z=0$を連立して円の方程式を得た(?). \\[.2zh] 単純には,\ (2)も同様に$z$を消去することで円の方程式が得られそうな気がする. \\[1zh] 試しに$z=x-2y-8$として球面の方程式に代入してみよう. \\[.2zh] $\textcolor{red}{2x^2-4xy+5y^2-16x+26y+25=0}$となるが,\ これは円の方程式ではない. \\[.2zh] 数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iの知識を借りれば,\ これは\textcolor{red}{楕円の方程式}である. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{cyan}{球面と平面の交わりは明らかに円であるはずなのに,\ 連立でその式が得られない}}のである. \\[.2zh] 何故なのだろうか.\ その理由を理解するには,\ \textbf{\textcolor{blue}{「連立する」ことの深い理解}}が必要である. \\\\
連立で文字消去するとき,\ 消去した文字の式はもう必要ないと考えられがちである. \\[.2zh] しかし,\ 例えば
つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{消去した文字の式も残しておいて初めて同値性が保たれる}}のである. \\[1zh] 以上の観点に立って(1)を見直すと次のようになる. \\[.2zh] よくよく考えると,\ $(x-2)^2+(y+1)^2=12$は円の方程式ではない. \\[.2zh] 空間であるから,\ これは\textbf{\textcolor{red}{円柱面の方程式}}($z$軸に平行)である. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor{blue}{交円の方程式}}\ $\begin{cases}
\textcolor{red}{(x-2)^2+(y+1)^2=12} & (\textcolor{red}{円柱面の方程式}) \\[.2zh] \textcolor{blue}{z=0} & (\textcolor{blue}{平面の方程式})
\end{cases}$\ というわけである. \\[.4zh] 球面と平面を連立して1つの円の式にまとまったのでは決してない. \\[.2zh] 連立は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{球面と平面の交わりから円柱面と平面の交わりへの変換}}だったのである. \\\\
では,\ (2)も同様の観点から見直そう.楕円柱面の方程式{球面と平面の交わりから楕円柱面と平面の交わりへの変換}}である. \\\\
$z$を消去すると,\ \textcolor{purple}{$z$軸に平行な柱を$z$軸に垂直な平面で切断したときの断面の式}が得られる. \\[.2zh] (1)は\textcolor[named]{ForestGreen}{円柱面と平面$z=0$が垂直}である. \\[.2zh] よって,\ \textcolor{red}{交円を求めることは,\ 柱の$z$軸に垂直な切断面を求めることに等しい}. \\[.2zh] 一方,\ (2)は\textcolor[named]{ForestGreen}{楕円柱面と平面$-\,x+2y+z+8=0$が垂直ではない}. \\[.2zh] よって,\ \textcolor{red}{交円を求めることと,\ 柱の$z$軸に垂直な切断面を求めることは別}である. \\[.2zh] 結局,\ 最初に示したような解法で求めることになる. \\\\