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2点A$(-\,1,\ 1,\ 1)$,\ B$(0,\ 1,\ 0)$を通る直線を$l$,\ 点C$(0,\ 3,\ 2)$を通り,\ $\bekutoru*d=(1,\ 2,\ -\,1)$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}に平行な直線を$m$とする.\ 点P,\ Qがそれぞれ直線$l,\ m$上を自由に動くとき,\ 距離PQ \\[.2zh] \hspace{.5zw}の最小値とそのときのP,\ Qの座標を求めよ. \\
ねじれの位置にある2直線間の最短距離(共通垂線)
\bm{各直線を媒介変数で表現すると,\ 2変数関数の最小問題に帰着する.} \\[.2zh] 1点\mathRM A(\bekutoru*a)を通り,\ 方向ベクトル\,\bekutoru*d\,のベクトル方程式は
2点\mathRM{A,\ B}を通る直線の方向ベクトルは\,\bekutoru{AB}=\bekutoru{OB}-\bekutoru{OA}\,である. \\[.2zh] よって,\ 直線l上の点\mathRM Pの座標は,\ \bekutoru{OP}=\bekutoru{OA}+s\bekutoru{AB}\ で求められる. \\[.2zh] 同様に,\ 直線m上の点\mathRM Qの座標は,\ \bekutoru{OQ}=\bekutoru{OC}+t\bekutoru*d\ で求められる. \\[1zh] 2点(x_1,\ y_1,\ z_1),\ (x_2,\ y_2,\ z_2)間の距離の公式は \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \\[.4zh] 根号が鬱陶しいので,\ ここでは2点\mathRM{P,\ Qの距離の2乗\,PQ^2}\,を計算した. \\[.2zh] 整理すると\bm{s,\ tの2変数2次式}となるから,\ これの最小値を求めればよい. \\[.2zh] 2変数2次式は,\ まず\bm{一方の文字の式とみて平方完成}する. \\[.2zh] ここではまずsの式とみて平方完成し(tは定数扱い),\ その後残りの部分(tの式)を平方完成した. \\[.2zh] 常に\ (s-t)^2\geqq0,\ (t+1)^2\geqq0\ より,\ \mathRM{PQ}^2\ の最小値は2である.\ 忘れずに平方根にして答える. \\[.2zh] 最小になるのは,
つまり,\ \bm{直線\mathRM{PQ}が2直線l,\ mの共通垂線になるとき,\ 距離\mathRM{PQ}が最小になる}のである.