この項目は 定点を通る直線と2直線の交点を通る直線(直線束) の習得を前提としています。

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平面$(4k+1)x+(2k-1)y+(k+1)z+k+4=0$に,\ 定数$k$の値に関係なく含まれる \\[.2zh] \hspace{.5zw}定直線を求めよ.
与式を$k$で整理すると 
数\text{I\hspace{-.1em}I}で学習した\bm{定点を通る直線}の問題の空間版であり,\ 解法も同様である. \\[1zh] 図形的に\bm{『kの値に関係なく含まれる』}ことは,\ 数式的に\bm{『kに何を代入しても成り立つ』}ことである. \\[.2zh] すなわち,\ \bm{『kについての恒等式となる条件を考える』}ことになる. \\[1zh] kの値によらずf(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0となる条件は,\ f(x,\ y,\ z)=g(x,\ y,\ z)=0である. \\[.2zh] 後は空間における直線の方程式の標準形に変形する. \\[.2zh] この変形は,\ \bm{1つの文字を他の文字で2通りに表す}ことを目指せばよい. \\[.2zh] ここでは,\ zを消去してx=(yの式),\ yを消去してx=(zの式)\ と変形した.
の交線を含む平面のうち,\ 次の条件を満 \\[.2zh] \hspace{.5zw}たすものを求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点$(1,\ -\,2,\ 1)$を通る        (2)\ \ $z軸に平行$
(2)\ \ 平面\maru2の法線ベクトルは $z軸の方向ベクトルを\,\bekutoru*d\,とする
これの見方を変えると,\ 次のようにもとらえられる. \\[.2zh] \bm{2平面f(x,\ y,\ z)=0とg(x,\ y,\ z)=0の交線を含む平面} \\[.2zh] \bm{ → f(x,\ y,\ z)+kg(x,\ y,\ z)=0で表せる} \\[.2zh] この定直線を含む平面全体の集合を\bm{「平面束(そく)」}という. \\[.2zh] 平面束の考え方を利用すると,\ \bm{交線を具体的に求めることなく平面を求められる}. \\[1zh] (2)\ \ ある平面がz軸に平行ならば,\ その\bm{平面の法線ベクトルはz軸と垂直}をなす.