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次の数列の初項から第$n$項までの和$S$を求めよ. \\[.
\hspace{.5zw}(2)\ \ $S=\retuwa{k=1}{n}kx^{k-1}\ \ を求めよ.$ \\\bm{(等差)\times(等比)型の数列の和}$}}}} \\\\[.5zh] $\bm{\textcolor{blue}{(等差)\times(等比)型}}$は,\ \textbf{\textcolor{red}{公比を掛けたものをずらして引く}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{等比数列の和に帰着}}する. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{magenta}{S-rS}}$\ の計算は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{等比数列の和の公式の導出と同様の発想}}である. \\\\\\
左側は初項1,\ 公差4の等差数列であるから,\ 一般項は\ \ 1+(n-1)\cdot4=4n-3 \\[.2zh] 右側は初項1,\ 公比3の等比数列であるから,\ 一般項は\ \ 1\cdot3^{n-1}=3^{n-1} \\[1zh] \bm{Sを和の形で書き出し,\ 等比数列の公比3を掛けた3Sを1つずらして引く.} \\[.2zh] このとき,\ \bm{等比数列の部分がそろうようにずらす}必要がある. \\[.2zh] 引いたとき,\ \bm{最後の項が-になる}ことに注意する. \\[1zh] 中央部分を4でくくると\bm{初項3,\ 公比3,\ 項数n-1の等比数列の和}に帰着する. \\[.2zh] 3^1から3^{n-1}までの和であるから,\ 項数はn-1個であることに注意する. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を適用し,\ 整理していく. \\[.8zh] どこまで整理するかは場合によるが,\ 本問は3^n\,でくくった形がよいだろう. \\[.2zh] そのために,\ 2\cdot3\cdot3^{n-1}=2\cdot3^n\ と考える. \\[.2zh] 2\cdot3\cdot3^{n-1}=6\cdot3^{n-1}\ としてしまうと,\ 3^n\ でくくれなくなる. \\[.2zh] 最後,\ 求まった答えにn=1やn=2を代入して問題と矛盾しないか確認(\bm{検算})すること.
正体が不明のΣは,\ とにかく\bm{和の形で書き出してみる.} \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n}kx^{k-1}=1\cdot 1+2\cdot x+3\cdot x^2+\cdots\cdots+n\cdot x^{n-1} \\[1zh] 左側の1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ n\ は,\ 初項1,\ 公差1の等差数列である. \\[.2zh] 右側の1,\ x,\ x^2,\ \cdots\cdots,\ x^{n-1}\ は,\ 初項1,\ 公比xの等比数列である. \\[.2zh] 結局,\ \retuwa{k=1}{n}kx^{k-1}\ は\bm{(等差)\times(等比)型の数列の和}である. \\[1zh] Σの正体に気付きさえすれば,\ (1)と同様にして和を求めることができる. \\[.2zh] しかし,\ 本問は(1)と異なる点が2つある. \\[1zh] 最も重要1点は,\ (公比x)=1\ の場合を分ける必要があることである. \\[.2zh] 等比数列の和の公式は,\ \bm{公比が文字の場合に(公比)=1\ の場合分けを要する}からである. \\[1zh] x=1\ のときは結局\ \bm{\retuwa{k=1}{n}k}\ であるから,\ Σ公式を適用する. \\[1.5zh] もう1点は,\ \bm{(1-x)Sは初項も含めて等比数列の和}とみなせることである(通常第2項から). \\[.2zh] よって,\ \bm{初項1,\ 公比x,\ 項数n\ の等比数列の和}を求めることになる. \\[.2zh] 1=x^0\,からx^{n-1}\,までの和であるから,\ 項数はn個である. \\[.2zh] 左辺の1-xに合わせて,\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ ではなく\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}\ を適用した. \\\\
参考程度だが,\ 以下のような別解がある.
(等差)\times(等比)型ではないが,\ その応用として時折出題されるのが,\ (2次式)\times(等比)型である. \\[.2zh] (等差)\times(等比)型と同様に,\ \bm{S-rSを計算する}と(等差)\times(等比)型に帰着する. \\[.2zh] 2次式k^2\,の階差はk^2-(k-1)^2=2k-1より1次式,\ つまり等差数列となるからである. \\[.2zh] 要は,\ \bm{1回S-rSを計算するにつき,\ 次数が1つずつ下がっていく}という仕組みである. \\[.2zh] (2次式)\times(等比)型\ \ →\ \ (1次式)\times(等比)型\ \ →\ \ (定数)\times(等比)型