解答の中央部分で(a/r、r、ar)となっているのは(a/r、a、ar)の誤りですm(_ _)m

geometrical-mean

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等比数列をなす3数があり,\ その和が24,\ 積が-4096である.$ \\[.2zh] この3数を求めよ.$ \\  次の3通りの表現のうち,\ 適切な表現を用いて求める. \\[1zh] \text{[3]}の平均形は,\ 応用上最も重要な関係である.\ 次の理由もおさえておく. \\ a,\ b,\ cが等比数列をなすとき \bm{\bunsuu ba=\bunsuu cb}    よって b^2=ac \\[1zh] なお,\ 等比数列をなす3数の中央の項を\bm{等比中項}という. \centerline{$\therefore 求める3数は \bm{8,\ -16,\ 32}$} \\\\ 本問は対称形で設定すると簡潔に済む. \\ a^3=-4096=-2^{12}=-(2^4)^3 より a=-2^4=-16 \\ よって -16\left(\bunsuu1r+1+r\right)=24 より \bunsuu1r+1+r=-\bunsuu32 \\[.5zh] ゆえに \bunsuu1r+r+\bunsuu52=0 より 2r^2+5r+2=0 \\[1zh] 本問は,\ 「3数を求めよ」なので,\ 順序は関係なく単に3つの数を答ればよい. \\ 「a,\ b,\ cがこの順で等比数列」であれば,\ 次のように2通りの場合を答える. \\ (a,\ b,\ c)=(8,\ -16,\ 32),\ (32,\ -16,\ 8) \phantom{ (1)}\ \ $a,\ cは2次方程式\ \textcolor{magenta}{t^2-40t+256=0}\ の2解である.$ \\[.2zh] \centerline{$\therefore 求める3数は \bm{8,\ -16,\ 32}$} \\\\ \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 平均形を用いると,\ \bm{3文字の連立方程式}に帰着する. \\ まず,\ \maru1と\maru3から一気にa,\ cを消去でき,\ bが求まる. \\ これを\maru2,\ \maru3に代入すると,\ a,\ cの対称式の連立方程式となる. \\ 対称式の連立方程式は,\ \bm{対称性を生かして解く}のが普通である. \\ t=a,\ c\ を解にもつ2次方程式の1つは (t-a)(t-c)=0 \\ これを展開すると t^2-(a+c)t+ac=0 \\ 和a+cと積acが判明しているので,\ これを逆に利用するのである.