検索用コード
3数\ p,\ q,\ pq\ (p<0<q)\ は,\ 適当に並べると等差数列になり,\ また,\ 適当に並べると$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$等比数列にもなる.\ このとき,\ p,\ qの値を求めよ.$ \\
$\bm{適当に並び替えると等差数列にも等比数列にもなる3数}$}}}} \\\\[.5zh] $\bm{3数a,\ b,\ cがこの順で\textcolor{cyan}{等差数列}をなす条件 \textcolor{red}{2b=a+c} (\textcolor[named]{ForestGreen}{b:等差中項})}$ \\[.2zh] $\bm{3数a,\ b,\ cがこの順で\textcolor{magenta}{等比数列}をなす条件 \textcolor{red}{b^2=ac}  \ \,\,(\textcolor[named]{ForestGreen}{b:等比中項})}$ \\\\\\
$\textcolor{red}{p<0,\ q>0,\ pq<0}\ より,\ qが等比中項であるから \textcolor{red}{q^2=p\cdot pq}$ \\[.2zh] ,\ qが等差中項となることはない.}$ \\[1zh] 最悪3数の並び替えを全て考えてもよいが,\ 非常に面倒である. \\[.2zh] 問題で与えられた条件を考慮し,\ \bm{あらかじめあり得る並びを絞り込む}ことが重要である. \\[1zh] 本問の場合は,\ \bm{3数の正負に着目する}.\ \ p<0,\ pq<0,\ q>0\ (負の項2個と正の項1個)である. \\[.2zh] \bm{等比数列の構造を考慮}すると,\ 項の順序は\bm{「負\,→\,正\,→\,負」}しかあり得ない. \\[.2zh] 正負が混在するならば公比が負であり,\ \bm{公比が負ならば正負は交互になる}はずだからである. \\[.2zh] よって,\ 等比数列となる並びは「p\ →\ q\ →\ pq」か「pq\ →\ q\ →\ p」の2通りしかない. \\[.2zh] そして,\ 2通りのどちらであっても,\ 平均形ならば同じ条件式で表現できる. \\[1zh] 次に,\ 正負を元に等差数列となるときにあり得る順序を考える. \\[.2zh] 等差数列は,\ 単調増加または単調減少数列である. \\[.2zh] よって,\ あり得るのは\bm{「負\,→\,負\,→\,正」か「正\,→\,負\,→\,負」}のどちらかのパターンである. \\[.2zh] つまり,\ 「負\,→\,正\,→\,負」になることはなく,\ qが等差中項となる可能性が消える. \\[.2zh] 結局,\ pとpqが等差中項となる場合のみを考えれば済むわけである.