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kが整数のとき,\ k(k+1)(k+2)\ などは連続する整数の積を表す.$ \\[.2zh] 例えば,\ $k=1\ のとき,\ \ k(k+1)(k+2)=1\cdot2\cdot3\ \ である.$ \\\\
一般に,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{連続整数の積は以下のような階差の形に変形できる.}} \\[.2zh] 階差の形にできるということは,\ 和を求めることができるということである. \\\\
\centerline{$\arraycolsep=1mm\begin{array}{lcl}
\textcolor{cyan}{k}&=&\textcolor{red}{\bunsuu12\{k(k+1)-(k-1)k\}} \\[1zh] \textcolor{cyan}{k(k+1)}&=&\textcolor{red}{\bunsuu13\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}} \\[1zh] \textcolor{cyan}{k(k+1)(k+2)}&=&\textcolor{red}{\bunsuu14\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}} \\[.5zh] $さて,\ 階差を利用して,\ \retuwa{k=1}{n}k\ を求めてみよう.$ \\[1zh] これは\bm{Σ公式の別証明}に他ならない.\ 他のΣ公式の証明は次の項で取り扱う.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
同様に計算することで,\ \textbf{\textcolor{blue}{連続整数の積の和}}が以下のようになることがわかる. \\[.5zh] 今一つ規則性が感じられなかったΣ公式だが,\ すぐそばに真に美しい規則性が潜んでいたのである.